Exercices LLG maths rentrée prépa

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Guliup

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par Guliup » 01 août 2014 13:25

Pour le 34 as tu essayé quelques valeurs ?
T'obtiens :
u(0)=0
u(1)=0
u(2)=1
u(3)=1
u(4)=2
u(5)=2

Du coup tu en déduis une forme avec u(n+2) comme dans l'indication et une forme explicite en faisant la distinction si n est paire ou impaire (forme 2k ou 2k+1) !
J'espère que ça a pu t'aider :).

jouvence

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par jouvence » 01 août 2014 19:36

Salut !

Pour le 34 Gulip a tout dit :)
Pour le 33 : Oui, ce sont les bonnes valeurs et après tu n'as plus qu'à continuer grâce à la somme télescopique puis rajouter un degré pour k^3 dans le polynôme !

GastonMrPhan

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par GastonMrPhan » 02 août 2014 11:42

Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrais donner un point de départ pour l'exercice 10 SVP? Car je ne sais vraiment pas par où commencer.
Je vous redonne l'intitulé:

La suite $ U_{n} $ est définie par $ U_{0} $ = 1 et :

∀n ∈ N∗, $ U_{n}=U_{\frac{n}{2}} + U_{\frac{n}{3}} + U_{\frac{n}{6}} $

a) Montrer :
∀n ∈ N, $ U_{n} $ ≥ n + 1.

b) Trouver C > 0 tel que :
∀n ∈ N, $ U_{n} $≤ C(n + 1)

PierreAlex1995

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par PierreAlex1995 » 02 août 2014 12:00

Merci pour le 34 les gars
Par contre jai pas compris comment faire le 33 avec k^3 et tout ce que tu as dit (il faut dire que y a des parties du cours que je n ai pas compris) pourrait tu etre un peu plus explicite stp :D
Si qqn peut aussi m'aider pour l'exercice 45 j ai fait l'initiationalisation mais j'arrive pas l'hérédité
J ai simplifié Un par sin (pi/2^n)/sin(pi/2^(n+1)) mais ça ne me permet pas de faire l'hérédité
Merci d'avance

jouvence

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par jouvence » 02 août 2014 12:26

Dans l'exercice 33 après tu as une partie b) avec la somme des k^3. Tu refais le même raisonnement que pour k^2 ; en fait tu poses P(x)-P(x-1)=x^3. Donc pour obtenir x^3, tu as besoin d'augmenter le polynôme d'un degré car tu as remarqué que dans la partie a) les deux cubes ( les ax^3) "s'annulent" par soustraction. Donc il faut poser P(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx et tu refais le même exercice en fait :)

Pour ce que j'ai dit sur la partie a) : Le but est de trouver la somme des k^2 . Or on vient de remarquer que P(x)-P(x-1)=x^2. Donc la somme des P(k)-P(k-1)= la somme des k^2 : mais tu peux remarquer que la somme des P(k)-P(k-1) = P(1)-P(0)+P(2)-P(1)+... +P(n-1)-P(n-2)+P(n)-P(n-1) soit P(n)-P(0) et comme P(0)= 0 on obtient donc que la somme des k^2 = P(n) .

Pour le 45: Aide toi du fait que Un= 2*cos(pi/(2^(n+1)) = 2*cos(2* pi/(2^(n+2)) et t'utilises les formules sur les cosinus

Guliup

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par Guliup » 02 août 2014 16:38

GastonMrPhan a écrit :Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrais donner un point de départ pour l'exercice 10 SVP? Car je ne sais vraiment pas par où commencer.
Je vous redonne l'intitulé:

La suite $ U_{n} $ est définie par $ U_{0} $ = 1 et :

∀n ∈ N∗, $ U_{n}=U_{\frac{n}{2}} + U_{\frac{n}{3}} + U_{\frac{n}{6}} $

a) Montrer :
∀n ∈ N, $ U_{n} $ ≥ n + 1.

b) Trouver C > 0 tel que :
∀n ∈ N, $ U_{n} $≤ C(n + 1)

Pour le 10 prends quelques valeurs, tu trouveras une forme explicite de la suite très facile. Ensuite j'ai démontré cette forme explicite, ce qui permet ensuite de faire la a) et la b) en 1 minute ;). Le plus dur est dans la démonstration.

GastonMrPhan

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par GastonMrPhan » 02 août 2014 16:51

Comment je peux calculer U1, U2..?

Meijnir

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par Meijnir » 02 août 2014 17:08

GastonMrPhan a écrit :Comment je peux calculer U1, U2..?
$ u_1=u_{\lfloor{1/2 \rfloor}}+u_{\lfloor{1/3 \rfloor}}+u_{\lfloor{1/6 \rfloor}} $
$ u_1=u_0+u_0+u_0=3 $

muscovado

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par muscovado » 21 août 2014 16:00

Désolé de faire remonter le topic, mais vous la voyez où votre relation explicite dans cette suite ? ça commence par $ 1,3,5,7,9,9,15,15,17,19,19,19... $ (on peut regarder sur oeis.org pour trouver pas mal de termes ; c'est aussi un bon site pour intuiter des formules par récurrence).

Moi, ce que j'avais fait :
SPOILER:
La première question est facile, on procède par récurrence forte sur $ n $, à l'hérédité on se retrouve avec $ u_n $ supérieur ou égal à $ ent(n/2) + ent(n/3) + ent(n/6) + 3 $ supérieur ou égal à $ n-2+3 = n+1 $
Au lieu de montrer $ u_n \le 3(n+1) $ pour la deuxième car je n'y arrivais pas, je montre $ u_n \le 3n $ qui me semblait vrai en regardant les $ 10000 $ premières valeurs, encore par récurrence forte. On a déjà les relations suivantes pour $ n $ strictement positif, et on balaye les différents cas pour l'hérédité.
$ u_{6n} = u_{6n+1} = u_{3n} + u_{2n} + u_{n} $
$ u_{6n+2} = u_{3n+1} + u_{2n} + u_{n} $
$ u_{6n+3} = u_{3n+1} + u_{2n+1} + u_{n} $
$ u_{6n+4} = u_{6n+5} = u_{3n+2} + u_{2n+1} + u_n $

Guliup

Re: Exercices LLG maths rentrée prépa

Message par Guliup » 21 août 2014 19:12

muscovado a écrit :Désolé de faire remonter le topic, mais vous la voyez où votre relation explicite dans cette suite ? ça commence par $ 1,3,5,7,9,9,15,15,17,19,19,19... $ (on peut regarder sur oeis.org pour trouver pas mal de termes ; c'est aussi un bon site pour intuiter des formules par récurrence).

Moi, ce que j'avais fait :
SPOILER:
La première question est facile, on procède par récurrence forte sur $ n $, à l'hérédité on se retrouve avec $ u_n $ supérieur ou égal à $ ent(n/2) + ent(n/3) + ent(n/6) + 3 $ supérieur ou égal à $ n-2+3 = n+1 $
Au lieu de montrer $ u_n \le 3(n+1) $ pour la deuxième car je n'y arrivais pas, je montre $ u_n \le 3n $ qui me semblait vrai en regardant les $ 10000 $ premières valeurs, encore par récurrence forte. On a déjà les relations suivantes pour $ n $ strictement positif, et on balaye les différents cas pour l'hérédité.
$ u_{6n} = u_{6n+1} = u_{3n} + u_{2n} + u_{n} $
$ u_{6n+2} = u_{3n+1} + u_{2n} + u_{n} $
$ u_{6n+3} = u_{3n+1} + u_{2n+1} + u_{n} $
$ u_{6n+4} = u_{6n+5} = u_{3n+2} + u_{2n+1} + u_n $
J'avais fait les 5 premiers termes... Ta solution semble plus adapté du coup oui !

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