Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:19

Pour me faire pardonner :
Soit $ (u_n) $ une suite définie par $ u_0 > 0 $ et $ u_{n+1}=\sqrt u_n + 1/(n+1) $

On cherche à démontrer que $ u $ est décroissante à partir d'un certain rang.
Dernière modification par Piko le 24 juil. 2015 09:27, modifié 2 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:31

En gros, je viens de me rendre compte que tu peux pas formuler correctement l'exercice sans utiliser le mot bijection. Donc $ X $ est une bijection. Voilà. :mrgreen:
Pour ce qui est de la question 3, oui, bon. Passons. :mrgreen:
Dernière modification par Piko le 24 juil. 2015 06:39, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 06:36

Piko a écrit :Pour ce qui est du contre exemple qu'est x^2, c'est parce que j'ai plus ou moins passé sous silence ( :mrgreen: ) une hypothèse ne servant à rien dans la solution, c'est à dire qu'on doit avoir X(N)=N, ce qui n'est pas le cas avec la fonction carrée (Si X(n)=n^2, X(N) ne continent pas 2, par exemple). Il suffit juste de trouver des b et c qui fonctionnent, il n'y a aucune démonstration, en fait.
Si on doit avoir X(N) = N, on peut juste prendre 0; 1 et 2.. :mrgreen:

Et ce qui est de la question 3, ça fait 996, en utilisant U(2n) + U(2n+1) = 1, et en modifiant la somme en: $ ( \sum_{i=0}^{994} u_{2i} + u_{2i+1} ) + u_{1990} $ !

(Et on m'appelle "El Pinaillor Jr". 8) )
Dernière modification par MihoAzuki le 24 juil. 2015 06:44, modifié 3 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:41

Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 06:45

Piko a écrit :Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:
Ahahah!
D'ailleurs, je me demandais si y avait des bijections sur N autres que X(n) = n... :?:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:58

Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 07:02

Piko a écrit :Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)
Ahah, merci, mais je pense savoir comment faire.
Déjà on montre qu'elle est croissante, strictement.
Et donc que U(n+1) >= U(n) +1
Or, c'est une bijection.
Donc U(n) = n (ça semble logique).

Et là il suffit de trouver un exemple, non?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 07:06

Non, elle n'est pas croissante du tout, justement, c'est pour ça que je disais que les bijections sur N c'est ouf.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 07:10

Mais.. elle était pas censée être strictement monotone aussi? :cry:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 07:19

Non justement, j'ai dans mon sommeil essayé de traduire l'injectivité comme s'il s'agissait d'une fonction réelle. Elle est seulement bijective

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