Soit $ (u_n) $ une suite définie par $ u_0 > 0 $ et $ u_{n+1}=\sqrt u_n + 1/(n+1) $
On cherche à démontrer que $ u $ est décroissante à partir d'un certain rang.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Pour me faire pardonner :
Dernière modification par Piko le 24 juil. 2015 09:27, modifié 2 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
En gros, je viens de me rendre compte que tu peux pas formuler correctement l'exercice sans utiliser le mot bijection. Donc $ X $ est une bijection. Voilà.
Pour ce qui est de la question 3, oui, bon. Passons.
Pour ce qui est de la question 3, oui, bon. Passons.
Dernière modification par Piko le 24 juil. 2015 06:39, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Si on doit avoir X(N) = N, on peut juste prendre 0; 1 et 2..Piko a écrit :Pour ce qui est du contre exemple qu'est x^2, c'est parce que j'ai plus ou moins passé sous silence ( ) une hypothèse ne servant à rien dans la solution, c'est à dire qu'on doit avoir X(N)=N, ce qui n'est pas le cas avec la fonction carrée (Si X(n)=n^2, X(N) ne continent pas 2, par exemple). Il suffit juste de trouver des b et c qui fonctionnent, il n'y a aucune démonstration, en fait.
Et ce qui est de la question 3, ça fait 996, en utilisant U(2n) + U(2n+1) = 1, et en modifiant la somme en: $ ( \sum_{i=0}^{994} u_{2i} + u_{2i+1} ) + u_{1990} $ !
(Et on m'appelle "El Pinaillor Jr". )
Dernière modification par MihoAzuki le 24 juil. 2015 06:44, modifié 3 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf !
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ahahah!Piko a écrit :Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf !
D'ailleurs, je me demandais si y avait des bijections sur N autres que X(n) = n...
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.
Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait.
Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ahah, merci, mais je pense savoir comment faire.Piko a écrit :Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.
Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait.
Déjà on montre qu'elle est croissante, strictement.
Et donc que U(n+1) >= U(n) +1
Or, c'est une bijection.
Donc U(n) = n (ça semble logique).
Et là il suffit de trouver un exemple, non?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Non, elle n'est pas croissante du tout, justement, c'est pour ça que je disais que les bijections sur N c'est ouf.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Mais.. elle était pas censée être strictement monotone aussi?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Non justement, j'ai dans mon sommeil essayé de traduire l'injectivité comme s'il s'agissait d'une fonction réelle. Elle est seulement bijective