Exercices de MPSI

[Hunted]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

[Hunted]

Un autre petit exo calculatoire :

Démontrez que $ \forall (x,n) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{N}^* $ on a :

$ x^n - 1 = (x-1) \sum_{k=1}^{n-1} x^k $

[bullquies]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

[SigmaPi]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

^_^

[Magnéthorax]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

L'exemple ici est assez mal choisi. Avant d'approfondir, on peut aussi revoir les fondamentaux.

[Hunted]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Merci !

SPOILER:

En $ + \infty $, on a :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0 $

Or $ \lim\limits_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 $ car $ exp $ est continue en $ 0 $.

De même :

$ \lim\limits_{x \to 0} \cos (x) = \cos (0) = 1 $ car $ \cos $ est continue en $ 0 $.

Donc par composition :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} e^{\frac{1}{x} = 1 $

et

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \cos (\frac{1}{x}) = 1 $

Donc finalement la parenthèse tend vers $ 2 $ et l'expression proposée tend vers $ + \infty $ en $ + \infty $ c'est le même topo en $ - \infty $ puisque l'inverse tend vers $ 0 $ lorsque $ x $ tend $ - \infty $ aussi.

Possible que j'ai fait une erreur quelque part, je poste rapido

[Hunted]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

L'exemple ici est assez mal choisi. Avant d'approfondir, on peut aussi revoir les fondamentaux.

Pourquoi il est mal choisi ?

[Sylve]

Il y a un $ - $ :>

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

SPOILER:

Règle de l'Hôpital imo

On pose $ y = \frac 1 x $. $ \lim\limits_{x \to +\infty} y = 0 $

$ $x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = \frac{e^y-cos \: y}{y}$ $

$ $\lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y-cos \: y}{y} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y + sin \: y}{1} = 1$ $

D'où : $ \lim\limits_{x \to +\infty} x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = 1 $

[Magnéthorax]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

L'exemple ici est assez mal choisi. Avant d'approfondir, on peut aussi revoir les fondamentaux.

Pourquoi il est mal choisi ?

Si vous posez la question, c'est qu'il faut revoir les fondamentaux (de term). Devant une telle limite à déterminer, vous faites quoi en premier ?

[Ewind]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Merci !

SPOILER:

En $ + \infty $, on a :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0 $

Or $ \lim\limits_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 $ car $ exp $ est continue en $ 0 $.

De même :

$ \lim\limits_{x \to 0} \cos (x) = \cos (0) = 1 $ car $ \cos $ est continue en $ 0 $.

Donc par composition :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} e^{\frac{1}{x} = 1 $

et

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \cos (\frac{1}{x}) = 1 $

Donc finalement la parenthèse tend vers $ 2 $ et l'expression proposée tend vers $ + \infty $ en $ + \infty $ c'est le même topo en $ - \infty $ puisque l'inverse tend vers $ 0 $ lorsque $ x $ tend $ - \infty $ aussi.

Possible que j'ai fait une erreur quelque part, je poste rapido

Tu t'es planté, c'est un - pas un +