Exercices de MPSI

[Leo11]

Un exo que j'aime beaucoup:

Trouver tous les couples d'entiers $ (x,y) \in \mathbb{Z} $ vérifiant:
$ 1+x+x^2+x^3+x^4=y^2 $

[Hunted]

Je crois que tu vas un peu trop loin dans l'interprétation que tu fais de mon message. Je ne critique que ce problème en particulier (dont je connais une solution, ce n'est donc pas que je n'ai pas envie de le faire), absolument pas les problèmes difficiles en général (et la référence à la médiocratisation me semble du coup tomber comme un cheveu sur la soupe, mais bon).

Par ailleurs je ne sais pas trop ce que tu appelles « de tels exercices ». Quel point commun ? La difficulté ?

Pour la petite anecdote, Terence Tao n'a eu qu'un point à cette exo quand il l'a passé à son époque les olympiades.

[Syl20]

Un exo que j'aime beaucoup:

Trouver tous les couples d'entiers $ (x,y) \in \mathbb{Z} $ vérifiant:
$ 1+x+x^2+x^3+x^4=y^2 $

SPOILER:

A priori, ça ne marche que pour 3 couples : $ {(-1,1),(0,1),(3,11)} $

Par contre, je ne sais pas comment le démontrer...

[rabhix98]

Voici du coup un exercice difficile mais formateur et très joli et sur lequel il peut être intéressant de passer du temps pour à peu près n'importe qui, pas juste les petits génies.

On considère deux polygones du plan P et Q de même aire. Montrer qu'il est possible de découper P en un nombre fini de morceaux (avec des coupures rectilignes), de les déplacer, puis de les recoller pour obtenir Q.

C'est pas la première fois que je poste un exercice de géométrie et j'ai remarqué qu'en général ça ne passionnait pas les foules, mais je vous encourage à le chercher quand même, même si vous pensez ne pas aimer la géométrie. Je pense que tout le monde aime la géométrie, en fait.

SPOILER:

Je n'ai étudié la question qu'assez sommairement mais ça devrait le faire
On suppose que les polygones P et Q sont convexes.
-Soit G un point dans P.
-Relier chaque sommet du polygone à G.
-Couper selon les segments obtenus et séparer les triangles obtenus.
-On considère un triangle parmi ceux obtenus.
-Le couper selon sa hauteur.
-On considère un des deux triangle rectangle obtenu.
-Le couper selon sa médiane (celle de l'angle droit).
-On considère un des deux triangles isocèles obtenus.
-Le couper selon sa médiante/médiatrice.
-On obtient deux triangles identiques qu'on place sous la forme d'un parallélogramme (chacun d'entre eux représente la moitié d'un parallélogramme.
-On fait la même chose pour chacun des triangles de P puis ceux de Q.
-Couper les parallélogrammes parallèlement à leurs cotés deux sortes qu'on obtienne ceux de Q ( si ceux de Q sont plus grands, on peut coller les parallélogrammes entres eux)
Noter que chaque coupe de parallélogrammes est aussi un parallélogramme
-On réitère la coupure/collage des parallélogramme jusqu'à obtenir ceux de Q (ce qui est possible du fait que les sommes des parallélogrammes de P et de Q sont égales)
-On fait le procédé inverse (collage) afin de reconstruire Q

[lsjduejd]

Voici du coup un exercice difficile mais formateur et très joli et sur lequel il peut être intéressant de passer du temps pour à peu près n'importe qui, pas juste les petits génies.

On considère deux polygones du plan P et Q de même aire. Montrer qu'il est possible de découper P en un nombre fini de morceaux (avec des coupures rectilignes), de les déplacer, puis de les recoller pour obtenir Q.

C'est pas la première fois que je poste un exercice de géométrie et j'ai remarqué qu'en général ça ne passionnait pas les foules, mais je vous encourage à le chercher quand même, même si vous pensez ne pas aimer la géométrie. Je pense que tout le monde aime la géométrie, en fait.

SPOILER:

Je n'ai étudié la question qu'assez sommairement mais ça devrait le faire
On suppose que les polygones P et Q sont convexes.
-Soit G un point dans P.
-Relier chaque sommet du polygone à G.
-Couper selon les segments obtenus et séparer les triangles obtenus.
-On considère un triangle parmi ceux obtenus.
-Le couper selon sa hauteur.
-On considère un des deux triangle rectangle obtenu.
-Le couper selon sa médiane (celle de l'angle droit).
-On considère un des deux triangles isocèles obtenus.
-Le couper selon sa médiante/médiatrice.
-On obtient deux triangles identiques qu'on place sous la forme d'un parallélogramme (chacun d'entre eux représente la moitié d'un parallélogramme.
-On fait la même chose pour chacun des triangles de P puis ceux de Q.
-Couper les parallélogrammes parallèlement à leurs cotés deux sortes qu'on obtienne ceux de Q ( si ceux de Q sont plus grands, on peut coller les parallélogrammes entres eux)
Noter que chaque coupe de parallélogrammes est aussi un parallélogramme
-On réitère la coupure/collage des parallélogramme jusqu'à obtenir ceux de Q (ce qui est possible du fait que les sommes des parallélogrammes de P et de Q sont égales)
-On fait le procédé inverse (collage) afin de reconstruire Q

SPOILER:

-Le couper selon sa hauteur.

SPOILER:

-Le couper selon sa médiane/médiatrice.

On comprend l'idée mais faut préciser lesquelles...

SPOILER:

-Couper les parallélogrammes parallèlement à leurs cotés deux sortes qu'on obtienne ceux de Q ( si ceux de Q sont plus grands, on peut coller les parallélogrammes entres eux)

Qu'est-ce que tu entends par là ?

[Leo11]

Un exo que j'aime beaucoup:

Trouver tous les couples d'entiers $ (x,y) \in \mathbb{Z} $ vérifiant:
$ 1+x+x^2+x^3+x^4=y^2 $

SPOILER:

A priori, ça ne marche que pour 3 couples : $ {(-1,1),(0,1),(3,11)} $

Par contre, je ne sais pas comment le démontrer...

SPOILER:

Tu peux essayer de réduire l'intervalle d'étude en commençant par multiplier par 4 des 2 côtés (ca simplifiera les calculs et pourra donner des idées) et en factorisant intelligemment. Et pour tes solutions, cest ok si on restreint à N (mais c'est presque pareil sur Z donc ok).

[mathophilie]

Un exo que j'aime beaucoup:

Trouver tous les couples d'entiers $ (x,y) \in \mathbb{Z} $ vérifiant:
$ 1+x+x^2+x^3+x^4=y^2 $

SPOILER:

A priori, ça ne marche que pour 3 couples : $ {(-1,1),(0,1),(3,11)} $

Par contre, je ne sais pas comment le démontrer...

SPOILER:

Tu peux essayer de réduire l'intervalle d'étude en commençant par multiplier par 4 des 2 côtés (ca simplifiera les calculs et pourra donner des idées) et en factorisant intelligemment. Et pour tes solutions, cest ok si on restreint à N (mais c'est presque pareil sur Z donc ok).

Merci pour l'indication ! J'aurais pas trouvé sans... D'autre part, je ne suis pas sûre d'avoir toutes les solutions.

Une proposition donc :

SPOILER:

On remarque deux choses :
- Si un couple (a;b) est solution, alors (a;-b) l'est aussi.
- Le couple (0;1) est solution, et donc d'après la remarque du dessus, le couple (0;-1) aussi.

On a $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2 $.

Donc $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = 4y^2 $

On remarque que $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 $ peut se factoriser. On obtient alors, avec l'une des factorisations : $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2+x)^2 + (x+2)^2 + 2x^2 $

Donc, comme $ (x+2)^2 + 2x^2 > 0 $ pour tout x, on en déduit une minoration de l'expression :
$ (2x^2+x)^2 < 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 $

De plus $ (2x^2 + x + 2)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 4x + x $

Donc pour tout x, $ 4x^4 + 4x^3 + 4x^2+ 4x + 4 < (2x^2 + x+ 2)^2 $

D'où, la recherche étant sur Z l'ensemble des entiers, $ 4y^2 = (2x^2 + x+1)^2 $

Donc $ y^2 = \frac{(2x^2 + x + 1)^2}{4} $

Donc $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}x^2 + x^3 + x^4 $

D'où $ \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = 0 $

Polynôme du second degré.
On trouve comme solutions $ x = 3 $ d'où $ y=11 $ ou $ -11 $ ET $ x = -1 $ d'où $ y=1 $ ou $ -1 $

On trouve donc comme couples solutions (0;1), (0;-1), (-1;1), (-1;-1), (3;11), (3;-11).

A confirmer...

Petite question : comment on résout ce genre de problème, et plus généralement les équations uniques à 2 inconnues x et y, géométriquement ?
J'aimerais bien avoir plus de sens géométrique dans la résolution de problèmes algébriques, je trouve cela en général très joli et intéressant du point de vue de la "compréhension" du problème autrement qu'avec l'algèbre Bref, si quelqu'un a une résolution géométrique, je serai ravie de la connaître

[Hunted]

Merci pour l'indication ! J'aurais pas trouvé sans... D'autre part, je ne suis pas sûre d'avoir toutes les solutions.

Une proposition donc :

SPOILER:

On remarque deux choses :
- Si un couple (a;b) est solution, alors (a;-b) l'est aussi.
- Le couple (0;1) est solution, et donc d'après la remarque du dessus, le couple (0;-1) aussi.

On a $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2 $.

Donc $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = 4y^2 $

On remarque que $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 $ peut se factoriser. On obtient alors, avec l'une des factorisations : $ 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2+x)^2 + (x+2)^2 + 2x^2 $

Donc, comme $ (x+2)^2 + 2x^2 > 0 $ pour tout x, on en déduit une minoration de l'expression :
$ (2x^2+x)^2 < 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 $

De plus $ (2x^2 + x + 2)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 4x + x $

Donc pour tout x, $ 4x^4 + 4x^3 + 4x^2+ 4x + 4 < (2x^2 + x+ 2)^2 $

D'où, la recherche étant sur Z l'ensemble des entiers, $ 4y^2 = (2x^2 + x+1)^2 $

Donc $ y^2 = \frac{(2x^2 + x + 1)^2}{4} $

Donc $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}x^2 + x^3 + x^4 $

D'où $ \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = 0 $

Polynôme du second degré.
On trouve comme solutions $ x = 3 $ d'où $ y=11 $ ou $ -11 $ ET $ x = -1 $ d'où $ y=1 $ ou $ -1 $

On trouve donc comme couples solutions (0;1), (0;-1), (-1;1), (-1;-1), (3;11), (3;-11).

A confirmer...

Petite question : comment on résout ce genre de problème, et plus généralement les équations uniques à 2 inconnues x et y, géométriquement ?
J'aimerais bien avoir plus de sens géométrique dans la résolution de problèmes algébriques, je trouve cela en général très joli et intéressant du point de vue de la "compréhension" du problème autrement qu'avec l'algèbre Bref, si quelqu'un a une résolution géométrique, je serai ravie de la connaître

Ça m'a l'air bizarre parce que tu écris :

$ 4y^2 = (2x^2 + x+1)^2 $ et $ 4+4x+4x^2+4x^3+4x^4=4y^2 $

Pourtant : $ (2x^2+x+1)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 $ n'est pas égal à $ 4+4x+4x^2+4x^3+4x^4 $ par identification.

Du coup je vois pas comment tu peux conclure que :

$ 4y^2 = (2x^2 + x+1)^2 $

[mathophilie]

En fait j'ai juste cherché d'après l'indication de Leo11 un intervalle d'étude, en gros une minoration et une majoration qui me permettent d'obtenir une égalité finale intéressante, puisqu'on résout sur les entiers et non les réels.

Le but n'était pas d'obtenir une égalité egale par identification, sinon j'aurais ete mal pour résoudre une équation

[Leo11]

Yep, ça me semble ok mathophile
Hunted, x et y sont fixés (on les suppose solutions du problème au début), donc on ne manipule pas des polynômes, mais des entiers, du coup il n'y a pas lieu d'identifier. L'équation trouvée est justement une CONDITION sur x pour qu'il soit solution du problème (si on considérait chaque membre comme une fonction polynôme, ce serait l'intersection des 2 courbes représentatives). Ensuite, y a plus qu'à trouver les x vérifiant l'équation.
Et mathophile, ma solution était grosso modo pareille que la tienne, donc j'ai pas de solution géométrique. Mais si quelqu'un en trouve une, je suis aussi preneur.