Exercices de MPSI

[mathophilie]

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

[rabhix98]

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

On prépare le concours général ?

[Syl20]

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

Enfin un nouvel exercice !

SPOILER:

Alors, on constate que u1>1, puis, par récurrence, que pour tout n>0, un>1
De plus, la suite est décroissante à partir du rang 1 (ou 0 si u0 assez grand) elle admet donc une limite finie l
Ensuite, la limite de un+1 et un est la même. Ainsi, on a l=sqrt(l) +0 en l'infini. On en déduit l=1

C'est le sujet de quelle année ?

[mathophilie]

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

On prépare le concours général ?

Eh non, on s'amuse c'est tout

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

Enfin un nouvel exercice !

SPOILER:

Alors, on constate que u1>1, puis, par récurrence, que pour tout n>0, un>1
De plus, la suite est décroissante à partir du rang 1 (ou 0 si u0 assez grand) elle admet donc une limite finie l
Ensuite, la limite de un+1 et un est la même. Ainsi, on a l=sqrt(l) +0 en l'infini. On en déduit l=1

C'est le sujet de quelle année ?

Yep, well done !
J'ai fait comme toi, juste l'argument u1 > 1 je l'ai utilisé pour la décroissance, pour la minoration, j'ai juste dit qu'elle était nécessairement positive #flemmarde ^^

Si quelqu'un a un autre exo...

EDIT : Excuse moi, je n'avais pas vu la dernière question. Je ne sais plus, mais c'est antérieur à 2000

[phibang]

j'ai juste dit qu'elle était nécessairement positive #flemmarde ^^

Tu as "dit" ça comment ?

[mathophilie]

j'ai juste dit qu'elle était nécessairement positive #flemmarde ^^

Tu as "dit" ça comment ?

Si un u_n est négatif, la suite n'existe plus, du coup je me suis dit que tant qu'elle existait, elle était nécessairement positive.

[phibang]

Mouais justement c'est pas un argument, il faut prouver qu'elle existe pour dire ça et donc faire inévitablement la récurrence

[mathophilie]

Mouais justement c'est pas un argument, il faut prouver qu'elle existe pour dire ça et donc faire inévitablement la récurrence

Ah ok, au temps pour moi

Mais pourquoi faut-il prouver qu'elle "existe" ? (déso de te déranger^^)

[phibang]

Parce qu'ici on ne suppose son existence. On définit la suite seulement, si tu ne sais (ou tu ne supposes) pas qu'elle existe tu ne peux pas prouver un résultat sur elle.

Par exemple.
Si je définis la suite $ (U_n) $ telle que $ \forall n \in \mathbb{N}, U_n = \frac{1}{10-n} $ je ne peux pas dire que $ (U_n) $ est croissante parce qu'elle n'existe pas.

Si je suppose qu'une telle suite existe, je pourrais dire qu'une telle suite est croissante (edit : si j'arrivais à le prouver ce qui n'est pas le cas, voir le message suivant, disons pour l'idée "croissante sur les 9 premiers termes" mais ça n'a aucun sens)

En fait avant de travailler sur un objet il faut soit prouver son existence soit la supposer.

Le problème ici est plus "grave" c'est que tu utilises l'existence comme un argument dans ta démonstration alors que tu ne l'as pas prouvée.

[phibang]

Parce qu'ici on ne suppose son existence. On définit la suite seulement, si tu ne sais (ou tu ne supposes) pas qu'elle existe tu ne peux pas prouver un résultat sur elle.

Par exemple.
Si je définis la suite $ (U_n) $ telle que $ \forall n \in \mathbb{N}, U_n = \frac{1}{10-n} $ je ne peux pas dire que $ (U_n) $ est croissante parce qu'elle n'existe pas.

Si je suppose qu'une telle suite existe, je peux dire qu'une telle suite est croissante.

(en fait c'est un exemple un peu pourri mais je n'ai rien de mieux là tout de suite)

En fait avant de travailler sur un objet il faut soit prouver son existence soit la supposer.

Le problème ici est plus "grave" c'est que tu utilises l'existence comme un argument dans ta démonstration alors que tu ne l'as pas prouvée.