Exercices de MPSI

[phibang]

Près bien pour l'exercice d'arithmétique.

Pour la question 1 : je ne sais pas si ce serait vraiment plus rapide mais ça te permet de trouve à coup sûr la majoration à prouver
Pour la question 2 : c'est bien ça
Pour la question 3 : aussi, j'aimerais juste que tu précises mieux en quoi le fait que la suite (m^{2^n}) est convergente implique que la suite (y_n) l'est aussi

Faudra apprendre à dormir sans forcément avoir trouvé l'année prochaine :p

[mathophilie]

Près bien pour l'exercice d'arithmétique.

Pour la question 1 : je ne sais pas si ce serait vraiment plus rapide mais ça te permet de trouve à coup sûr la majoration à prouver
Pour la question 2 : c'est bien ça
Pour la question 3 : aussi, j'aimerais juste que tu précises mieux en quoi le fait que la suite (m^{2^n}) est convergente implique que la suite (y_n) l'est aussi

Faudra apprendre à dormir sans forcément avoir trouvé l'année prochaine :p

Oui, ca aurait en tout cas été plus facile niveau calculs...
Ok merci.
J'aurais dit que, quelque soit la définition de xn, les suites de la forme yn sont strictement croissantes (parce que l'on rajoute un truc positif sous la racine à chaque fois).
De plus, si wn définie avec $ m^{2^n} $ sous la racine est convergente, alors elle est majorée (par M par exemple).
Or $ x_n < m^{2^n} $
Donc $ yn < wn < M $.
D'où yn majorée.
De plus yn strictement croissante.
D'où yn convergente.

Ahah, mais on s'endort tellement mieux quand on a réussi à produire quelque chose !

[mathophilie]

Ils sont cools tes exos, n'hésite pas à en reposter !

[Pauwl]

Mathophilie se plaint de ne pas avoir d'exo mais quand on lui en donne ils sont torches en moins de 2h !
Finit les moins vite si tu veux en avoir plus

[Magnéthorax]

Il en reste plein ici et ailleurs.

[wallissen]

Trouver la négation de ces deux phrases (en utilisant le langage mathématique adéquat )

Si les roses sont rouges, alors les violettes sont bleues.
Il va se noyer à moins qu'il nage

[phibang]

J'ai pas tant d'exos que ça...
Voilà des exercices très classiques, vous les reverrez certainement l'année prochaine mais bon ça ne fait pas de mal d'avoir réfléchi dessus :

Soit $ f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $ une fonction continue telle que $ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=l<1 $. Montrer que f admet un point fixe.

Soit $ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue telle que $ f(0)=f(1) $. Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ il existe $ \alpha \in \mathbb{R} $ tel que $ f(\alpha + \frac{1}{n})=f(\alpha) $

Ça c'est un résultat de cours en sup. Vous devriez faire le lien avec certains exos types de terminale.

Soient $ a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\} $, Trouver une expression générale de la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 \in \mathbb{R} et \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=qu_n+a $

Pour tout entier naturel non nul n on définit $ u_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} $ et $ v_n=u_n+\frac{1}{n!} $. Montrer que les suites u et v convergent vers la même limite et prouver que cette limite est irrationnelle.
(Cette limite est en fait e, de l'exponentielle, soyez pas frustrés vous ne pouvez pas le démontrer mais on définit parfois la fonction exponentielle comme la limite de cette suite $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = e^x $)

Pour tout n entier naturel non nul on pose $ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $. Montrer que la suite $ (H_n - ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge.

Soit a un entier naturel non nul. On note N le nombre des diviseurs de a. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur N pour que a soit un carré parfait (i.e. $ \sqrt{a} \in \mathbb{N} $) et la prouver.

Attention aux raccourcis dans le raisonnement, tout doit être bien justifié.

Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si n n'est pas un carré parfait, $ \sqrt{n} \notin \mathbb{Q} $

Et ce sera tout venant de moi pendant ces vacances, faut que je bosse également

[mathophilie]

@Pauwl : Ahah, j'étais en carence de maths Salut au passage !

@wallissen : Hello ! C'est quoi cet exo

Si les roses sont rouges, alors les violettes sont bleues.
Il va se noyer à moins qu'il nage

SPOILER:

Implication en 1 : A l'évènement "les roses sont rouges", B l'évènement "Les violettes sont bleues".
$ A \rightarrow B $

Et 2) Soit A l'évènement "il nage". B l'évènement "il va se noyer". A faux implique B vrai ?

Soit $ f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $ une fonction continue telle que $ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=l<1 $. Montrer que f admet un point fixe.

Une proposition peut être pas super rigoureuse...

SPOILER:

On sait que $ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=l<1 $, e\t que f est continue et définie sur R. De plus, 1 appartient à R (l'intervalle d'arrivée) alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel m tel que \frac{f(m)}{m} = 1.
Soit f(m) = m.

Donc f admet au moins un point fixe.

[phibang]

SPOILER:

C'est bien l'idée mais faut quand même les vérifier les hypothèses du TVI (là tu n'en as que 2 sur 3)

[mathophilie]

SPOILER:

C'est bien l'idée mais faut quand même les vérifier les hypothèses du TVI (là tu n'en as que 2 sur 3)

Ok merci, je suis pas sûre de la correction mais j'ai édité.