Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
C'est bien ça !
Légers problèmes de rédaction et/ou d'erreurs de frappe mais la démo est là !
Légers problèmes de rédaction et/ou d'erreurs de frappe mais la démo est là !
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
OkTonio1804 a écrit :C'est bien ça !
Légers problèmes de rédaction et/ou d'erreurs de frappe mais la démo est là !

Merci !
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bonsoir,
voici un exo sur les suites qui provient d'un problème de probabilité. Le programme actuel suffit.
Soient $ p,q $ deux réels dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez toutes les suites $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ qui vérifient :
1. $ u_0=pu_1 $
2. Pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1} $
3. $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ 1 $.
Indication :
voici un exo sur les suites qui provient d'un problème de probabilité. Le programme actuel suffit.
Soient $ p,q $ deux réels dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez toutes les suites $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ qui vérifient :
1. $ u_0=pu_1 $
2. Pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1} $
3. $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ 1 $.
Indication :
SPOILER:
Dernière modification par Magnéthorax le 29 févr. 2016 22:44, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Une proposition :Pour tout n entier naturel non nul on pose $ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $. Montrer que la suite $ (H_n - ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge.
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Le truc c'est que si tu rédiges bien et que tu poses bien tes objets, toute ta démo est claire et tu n'as pas de risque de t'embrouiller avec les indices. Mais bon là j'abuse un peu sur la correction de ta rédac mais si ça peut aider.mathophilie a écrit : Tous les exposants pairs dans la décomposition, puisqu'on multiplie les exposants de la décomposition de m tel que m² = a par 2 en élevant au carré).
Ici tu vois bien que vu la clarté de ta phrase, on comprend pas hyper bien l'argument, mieux vaut une vrai démo
On écrit la décomposition de a en facteurs premiers : $ a = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_z^{k_n} $ ($ p_i $ entier, $ k_i $ entier pair) En fait tu n'as même pas vraiment besoin de préciser ça, c'est compris dans la définition de la décomposition en facteurs premiers. Par contre tu pourrais dire que les k vont de k_1 à k_z ça te simplifierait la vie
Les diviseurs de a sont de la forme : d (c'est N) = $ p_1^{m_0}*...*p_z^{m_{n}} $} avec $ m_i $ la série décrivant les entiers de 0 à $ k_n $
Là le plus simple c'est de l'écrire sous forme d'ensemble : l'ensemble des diviseurs de a est $ \{\prod _{i=1}^z p_i^{m_i},m_i\in[|0,k_i|]\} $ (en vrai c'est pas hyper bien écrit non plus
Ainsi, on choisit pour chaque $ p_i $ un exposant parmi $ k_n + 1 $ c'est k_i (voir plus bas) entiers, d'où le nombre de diviseurs $ d = (k_n +1)*(k_n+1)*... $ z fois.
ici non c'est N = (k_1+1)(k_2+1)...(k_z+1)
De plus les $ k_ $ sont pairs. Donc les $ (k_n + 1) $ sont impairs. Pareil ici remplacer le n par un i. Le problème c'est que chez toi n n'est pas une variable muette c'est l'exposant de ton z-ième facteur premier. Tu ne peux donc pas dire "les k_n"
Le nombre de diviseurs d (c'est N) est donc le produit de z nombres impairs : il est donc impair.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
C'est bien pour l'exercice sur la série harmonique (H_n)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Merci beaucoup de la correction ! Ya de la couleur et tout, c'est plus clair que ma rédac...Tonio1804 a écrit :Le truc c'est que si tu rédiges bien et que tu poses bien tes objets, toute ta démo est claire et tu n'as pas de risque de t'embrouiller avec les indices. Mais bon là j'abuse un peu sur la correction de ta rédac mais si ça peut aider.mathophilie a écrit : Tous les exposants pairs dans la décomposition, puisqu'on multiplie les exposants de la décomposition de m tel que m² = a par 2 en élevant au carré).
Ici tu vois bien que vu la clarté de ta phrase, on comprend pas hyper bien l'argument, mieux vaut une vrai démo
On écrit la décomposition de a en facteurs premiers : $ a = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_z^{k_n} $ ($ p_i $ entier, $ k_i $ entier pair) En fait tu n'as même pas vraiment besoin de préciser ça, c'est compris dans la définition de la décomposition en facteurs premiers. Par contre tu pourrais dire que les k vont de k_1 à k_z ça te simplifierait la vie
Les diviseurs de a sont de la forme : d (c'est N) = $ p_1^{m_0}*...*p_z^{m_{n}} $} avec $ m_i $ la série décrivant les entiers de 0 à $ k_n $
Là le plus simple c'est de l'écrire sous forme d'ensemble : l'ensemble des diviseurs de a est $ \{\prod _{i=1}^z p_i^{m_i},m_i\in[|0,k_i|]\} $ (en vrai c'est pas hyper bien écrit non plus
Ainsi, on choisit pour chaque $ p_i $ un exposant parmi $ k_n + 1 $ c'est k_i (voir plus bas) entiers, d'où le nombre de diviseurs $ d = (k_n +1)*(k_n+1)*... $ z fois.
ici non c'est N = (k_1+1)(k_2+1)...(k_z+1)
De plus les $ k_ $ sont pairs. Donc les $ (k_n + 1) $ sont impairs. Pareil ici remplacer le n par un i. Le problème c'est que chez toi n n'est pas une variable muette c'est l'exposant de ton z-ième facteur premier. Tu ne peux donc pas dire "les k_n"
Le nombre de diviseurs d (c'est N) est donc le produit de z nombres impairs : il est donc impair.

Oui j'ai mélangé les variables muettes, celles qui en le sont pas, c'était un gros foutoir de variables

Merci pour l'écriture propre de l'expression des diviseurs...
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Tu voudrais pas devenir prof de maths ?Tonio1804 a écrit :C'est bien pour l'exercice sur la série harmonique (H_n)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Là tout ce que j'ai fait c'est poster des exercices qu'on m'a déjà donné et puis j'ai corrigé voilà tout ! Pas de talent pédagogique particulier !
Donc non ! Enfin je ne sais pas mais de toute façon aujourd'hui je ne pense pas être suffisamment bon (ni assez rapide) pour une ENS
Donc non ! Enfin je ne sais pas mais de toute façon aujourd'hui je ne pense pas être suffisamment bon (ni assez rapide) pour une ENS

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Tu as plus rapide ? J'ai rien en tête de tellement mieux ?JustSayin' a écrit :Retiens bien cet exercice, l'année prochaine tu vas démontrer ça en deux lignesmathophilie a écrit :Une proposition :Pour tout n entier naturel non nul on pose $ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $. Montrer que la suite $ (H_n - ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge.
SPOILER: