Exercices de MPSI

[phibang]

C'est bien ça !
Légers problèmes de rédaction et/ou d'erreurs de frappe mais la démo est là !

[mathophilie]

C'est bien ça !
Légers problèmes de rédaction et/ou d'erreurs de frappe mais la démo est là !

Ok Oui je m'emmêle avec les indices i et z et tout...

Merci !

[Magnéthorax]

Bonsoir,

voici un exo sur les suites qui provient d'un problème de probabilité. Le programme actuel suffit.

Soient $ p,q $ deux réels dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez toutes les suites $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ qui vérifient :

1. $ u_0=pu_1 $
2. Pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1} $
3. $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ 1 $.

Indication :

SPOILER:

Pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n=1\times u_n $

[mathophilie]

Pour tout n entier naturel non nul on pose $ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $. Montrer que la suite $ (H_n - ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge.

Une proposition :

SPOILER:

Monotonie :

$ H_{n+1}-ln(n+1)-H_n+ln(n) = \frac{1}{n+1}-(ln(n+1)-ln(n)) $

$ H_{n+1}-ln(n+1)-H_n+ln(n) = \frac{1}{n+1}-\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{x})dx $

De plus, pour x dans [n;n+1], $ \frac{1}{x} \ge \frac{1}{n+1} $

D'où en intégrant, $ \int_{n}^{n+1}(\frac{1}{x})dx \ge \frac{1}{n+1} $

Donc $ (H_n - ln(n)) $ décroissante sur N.

Minoration :

Pour x dans [k;k+1], $ \frac{1}{k} \ge \frac{1}{x} $

En intégrant comme précédemment, il vient : $ \frac{1}{k} \ge ln(k+1) - ln(k) $

Donc en sommant : $ H_n \ge ln(n+1) $

D'où $ H_n - ln(n) \ge ln(\frac{n+1}{n}) $

De plus, pour tout n dans N, $ ln(\frac{n+1}{n}) > ln(1)= 0 $

Donc $ H_n - ln(n) $ minorée par 0.

On en déduit que $ H_n - ln(n) $ converge.

[phibang]

Tous les exposants pairs dans la décomposition, puisqu'on multiplie les exposants de la décomposition de m tel que m² = a par 2 en élevant au carré).
Ici tu vois bien que vu la clarté de ta phrase, on comprend pas hyper bien l'argument, mieux vaut une vrai démo

On écrit la décomposition de a en facteurs premiers : $ a = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_z^{k_n} $ ($ p_i $ entier, $ k_i $ entier pair) En fait tu n'as même pas vraiment besoin de préciser ça, c'est compris dans la définition de la décomposition en facteurs premiers. Par contre tu pourrais dire que les k vont de k_1 à k_z ça te simplifierait la vie

Les diviseurs de a sont de la forme : d (c'est N) = $ p_1^{m_0}*...*p_z^{m_{n}} $} avec $ m_i $ la série décrivant les entiers de 0 à $ k_n $
Là le plus simple c'est de l'écrire sous forme d'ensemble : l'ensemble des diviseurs de a est $ \{\prod _{i=1}^z p_i^{m_i},m_i\in[|0,k_i|]\} $ (en vrai c'est pas hyper bien écrit non plus

Ainsi, on choisit pour chaque $ p_i $ un exposant parmi $ k_n + 1 $ c'est k_i (voir plus bas) entiers, d'où le nombre de diviseurs $ d = (k_n +1)*(k_n+1)*... $ z fois.
ici non c'est N = (k_1+1)(k_2+1)...(k_z+1)

De plus les $ k_ $ sont pairs. Donc les $ (k_n + 1) $ sont impairs. Pareil ici remplacer le n par un i. Le problème c'est que chez toi n n'est pas une variable muette c'est l'exposant de ton z-ième facteur premier. Tu ne peux donc pas dire "les k_n"

Le nombre de diviseurs d (c'est N) est donc le produit de z nombres impairs : il est donc impair.

Le truc c'est que si tu rédiges bien et que tu poses bien tes objets, toute ta démo est claire et tu n'as pas de risque de t'embrouiller avec les indices. Mais bon là j'abuse un peu sur la correction de ta rédac mais si ça peut aider.

[phibang]

C'est bien pour l'exercice sur la série harmonique (H_n)

[mathophilie]

Tous les exposants pairs dans la décomposition, puisqu'on multiplie les exposants de la décomposition de m tel que m² = a par 2 en élevant au carré).
Ici tu vois bien que vu la clarté de ta phrase, on comprend pas hyper bien l'argument, mieux vaut une vrai démo

On écrit la décomposition de a en facteurs premiers : $ a = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_z^{k_n} $ ($ p_i $ entier, $ k_i $ entier pair) En fait tu n'as même pas vraiment besoin de préciser ça, c'est compris dans la définition de la décomposition en facteurs premiers. Par contre tu pourrais dire que les k vont de k_1 à k_z ça te simplifierait la vie

Les diviseurs de a sont de la forme : d (c'est N) = $ p_1^{m_0}*...*p_z^{m_{n}} $} avec $ m_i $ la série décrivant les entiers de 0 à $ k_n $
Là le plus simple c'est de l'écrire sous forme d'ensemble : l'ensemble des diviseurs de a est $ \{\prod _{i=1}^z p_i^{m_i},m_i\in[|0,k_i|]\} $ (en vrai c'est pas hyper bien écrit non plus

Ainsi, on choisit pour chaque $ p_i $ un exposant parmi $ k_n + 1 $ c'est k_i (voir plus bas) entiers, d'où le nombre de diviseurs $ d = (k_n +1)*(k_n+1)*... $ z fois.
ici non c'est N = (k_1+1)(k_2+1)...(k_z+1)

De plus les $ k_ $ sont pairs. Donc les $ (k_n + 1) $ sont impairs. Pareil ici remplacer le n par un i. Le problème c'est que chez toi n n'est pas une variable muette c'est l'exposant de ton z-ième facteur premier. Tu ne peux donc pas dire "les k_n"

Le nombre de diviseurs d (c'est N) est donc le produit de z nombres impairs : il est donc impair.

Le truc c'est que si tu rédiges bien et que tu poses bien tes objets, toute ta démo est claire et tu n'as pas de risque de t'embrouiller avec les indices. Mais bon là j'abuse un peu sur la correction de ta rédac mais si ça peut aider.

Merci beaucoup de la correction ! Ya de la couleur et tout, c'est plus clair que ma rédac... Je comprends où ca manque de rigueur.
Oui j'ai mélangé les variables muettes, celles qui en le sont pas, c'était un gros foutoir de variables
Merci pour l'écriture propre de l'expression des diviseurs...

[mathophilie]

C'est bien pour l'exercice sur la série harmonique (H_n)

Tu voudrais pas devenir prof de maths ?

[phibang]

Là tout ce que j'ai fait c'est poster des exercices qu'on m'a déjà donné et puis j'ai corrigé voilà tout ! Pas de talent pédagogique particulier !
Donc non ! Enfin je ne sais pas mais de toute façon aujourd'hui je ne pense pas être suffisamment bon (ni assez rapide) pour une ENS

[phibang]

Pour tout n entier naturel non nul on pose $ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $. Montrer que la suite $ (H_n - ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge.

Une proposition :

SPOILER:

Monotonie :

$ H_{n+1}-ln(n+1)-H_n+ln(n) = \frac{1}{n+1}-(ln(n+1)-ln(n)) $

$ H_{n+1}-ln(n+1)-H_n+ln(n) = \frac{1}{n+1}-\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{x})dx $

De plus, pour x dans [n;n+1], $ \frac{1}{x} \ge \frac{1}{n+1} $

D'où en intégrant, $ \int_{n}^{n+1}(\frac{1}{x})dx \ge \frac{1}{n+1} $

Donc $ (H_n - ln(n)) $ décroissante sur N.

Minoration :

Pour x dans [k;k+1], $ \frac{1}{k} \ge \frac{1}{x} $

En intégrant comme précédemment, il vient : $ \frac{1}{k} \ge ln(k+1) - ln(k) $

Donc en sommant : $ H_n \ge ln(n+1) $

D'où $ H_n - ln(n) \ge ln(\frac{n+1}{n}) $

De plus, pour tout n dans N, $ ln(\frac{n+1}{n}) > ln(1)= 0 $

Donc $ H_n - ln(n) $ minorée par 0.

On en déduit que $ H_n - ln(n) $ converge.

Retiens bien cet exercice, l'année prochaine tu vas démontrer ça en deux lignes

Tu as plus rapide ? J'ai rien en tête de tellement mieux ?