Exercices de MPSI

[mathophilie]

Un résultat qui peut s'avérer utile !

Soient n dans N∗, $ a_1, ... a_n, b_1, ... b_n $des réels. On définit la fonction f par : $ f(x) = \sum_{i=1}^{n}(a_ix + b_i)^2 $
Montrer que $ \left | \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $

Un exercice posté il y a longtemps et oublié :

Soit $ x,p,q $ dans N et $ x\ge 2 $. Déterminer $ PGCD(x^p-1; x^q-1) $

[Magnéthorax]

Just : si je puis me permettre,

1. Peut-être plus fondamentale comme application de l'inégalité de CS : soit $ n $ un entier naturel non nul et $ x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n $ des réels. Démontrez que :

$ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

2. L'algo d'Euclide n'est pas au programme de spé en term ?

[rabhix98]

2. L'algo d'Euclide n'est pas au programme de spé en term ?

J'avais ça en 3e... j'espère bien qu'il est resté, cet algo...

Il est bien resté en 3ième... et revu en spé

[Magnéthorax]

1. En effet, sympa comme application. (Pour la culture de ceux qui lisent ces messages : CS = inégalité de Cauchy Schwarz)

Surtout quand vous aurez vu la notion d'espace euclidien.

[mathophilie]

Un exercice posté il y a longtemps et oublié :
Soit $ x,p,q $ dans N et $ x\ge 2 $. Déterminer $ PGCD(x^p-1; x^q-1) $

C'est pas un peu très HP ? En tous cas c'est aussi un classique (dans mon cahier de cours, dans 100% des livres d'exercices et je l'ai eu en colle )

C'est dans mon livre de spé maths, en tout cas.
@Magnéthorax : Effectivement, c'est beaucoup plus accessible aux spé maths, mais je crois que tous les terms français qui passent ici sont en spé maths (ceux que je connais en tout cas) ou alors d'un pays étranger avec le programme de Terminale C et devraient donc s'en sortir avec ce dernier

[ladmzjkf]

Tout à fait, la rédaction est trompeuse, il n'y arien de magique ici. Il faut te questionner: où peut vivre $ \alpha $ ? Une fois cela fait, il faut se poser la question de qui est qui, l'inconnue, la relier quelque chose que tu as déjà fait. Ensuite, tu penses donc au TVI, comment l'appliques-tu d'habitude ? Il faut faire varier ton paramètre, et là bingo tu poses g(x)=f(x+1/n)-f(x), avec ton domaine déjà connu, il reste à relier l'hypothèse $ f(1)-f(0)=0 $ à ta nouvelle fonction, et là c'est fini.

J'ai essayé de comprendre en effet..

N'empêche la résolution est tellement succincte qu'on se demande si c'est une solution ou des indications
Après ladmzjkf m'a l'air très fort, mais il faut penser aux autres

wallissen, je ne voulais simplement pas te ôter le plaisir de rédiger bien comme il faut.

[mathophilie]

Y'a pas foule...

1. Peut-être plus fondamentale comme application de l'inégalité de CS : soit n un entier naturel non nul et $ x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n $ des réels. Démontrez que :

$ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

En admettant que l'inégalité de Cauchy-Schwarz que j'ai précédemment posté est démontrée :

SPOILER:

On a $ \left | \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2} $

Soit $ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^{n}x_iy_i + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \le $$ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}) + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 $

Soit en factorisant : $ \sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^2 \le (\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2})^2 $

D'où en prenant la racine carrée, $ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

Et pour la démo de l'inégalité de CS :

Soient n dans N∗, $ a_1, ... a_n, b_1, ... b_n $ des réels. On définit la fonction f par :$ f(x) = \sum_{i=1}^{n}(a_ix + b_i)^2 $Montrer que $ \left | \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $

Un indice :

SPOILER:

Remarquer que la fonction f définie dans l'exo est à valeurs dans R+.

[darklol]

En admettant que l'inégalité de Cauchy-Schwarz que j'ai précédemment posté est démontrée :

SPOILER:

On a $ \left | \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2} $

Soit $ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2\left | \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \right | + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \le $$ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}) + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 $

Soit en factorisant : $ \sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^2 \le (sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2})^2 $

D'où en prenant la racine carrée, $ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

Si tu veux que ta factorisation soit vraie, il faut que tu enlèves les valeurs absolues dans le membre de gauche de ton inégalité (possible car |x| >= x).

[mathophilie]

En admettant que l'inégalité de Cauchy-Schwarz que j'ai précédemment posté est démontrée :

SPOILER:

On a $ \left | \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2} $

Soit $ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2\left | \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \right | + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \le $$ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + 2(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}) + \sum_{i=1}^{n}y_i^2 $

Soit en factorisant : $ \sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^2 \le (sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2})^2 $

D'où en prenant la racine carrée, $ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

Si tu veux que ta factorisation soit vraie, il faut que tu enlèves les valeurs absolues dans le membre de gauche de ton inégalité (possible car |x| >= x).

Oui, au temps pour moi... J'ai copié collé la formule du dessus. Merci de la correction !
J'édite ca.

[rabhix98]

Une autre de Cauchy-Schwarz:

Montrer que pour tous $ x,y,z $ dans $ \mathbb{R}_{+}^{*} $, on a:
$ x+y+z \leqslant 2(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{y+x} ) $