Exercices de MPSI

[rabhix98]

C'est quoi card ? :/

cardinal d'un ensemble.Tu as dû le voir en proba.

Non. On a fait qu'un chapitre sur les probas et j'en ai jamais entendu parlé.
Je vais regarder sur internet.

En première on établit la formule de l'équiprobabilité $ P(A)=card(A)/Card(\Omega) $ , non ?

[Hunted]

En première on établit la formule de l'équiprobabilité $ P(A)=card(A)/Card(\Omega) $ , non ?

Oui, c'est ce à quoi je pensais

[Syl20]

En première on établit la formule de l'équiprobabilité $ P(A)=card(A)/Card(\Omega) $ , non ?

Vous avez fait une première quoi ?

[rabhix98]

En première on établit la formule de l'équiprobabilité $ P(A)=card(A)/Card(\Omega) $ , non ?

Vous avez fait une première quoi ?

S et toi ?
PS: Ma prof avait son doctorat de Maths sur les équas diffs comme sujet. Elle enseignait à l'école Normale de Marrakech en parallèle ...
Donc disons qu'on a eu de bonnes bases

[Oka]

Plus généralement, une somme d'inverses d'entiers positifs consécutifs n'est jamais un entier, ce n'est pas plus dur.

encore plus géneralement : une somme d'inverse d'entiers positifs en progression arithmetique n'est jamais un entier !

si la raison est impaire c'est à peu pres la meme démo que pour des entiers consecutifs (on met la somme sous forme de fraction avec le numerateur impair et le denominateur pair).
Par contre si la raison est paire c'est nettement plus dur (de mémoire il faut utiliser Bertrand et un peu d'analyse)

[lsjduejd]

Montrer que $ \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}k^p=0 $ pour $ n>p $.

Demontrer que $ 2^n $ divise $ E((3+\sqrt{5})^n)+1 $ avec E la fonction partie entière pour $ n $ entier naturel.

Je donnerai des indics pour le premier qui est strictement non-trivial.

[Syl20]

Arithmétique, parce que ca fait longtemps :

Montrer qu'il existe une infinité de p premiers tels que $ p\equiv 3 [4] $

Je précise que c'est un gros plagiat de E., mathématicien grec du IIIème siècle av. J-C

SPOILER:

On suppose qu'il existe un nombre fini de nombre premiers congruant à $ 3[4] $. L'ensemble qu'ils forment possèdent donc un maximum $ m $
Soit $ M $ le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $ m $ : $ M=2*3*5*7*11*...*m $
Ainsi, $ M+1 $ est lui aussi premier.
De plus, $ M+2 $ est un multiple de 4, d'où $ M+1\equiv3[4] $, et $ M+1>m $
Ainsi, il existe un nombre premier congruant à 3 modulo 4 et plus grand que m, le plus grand d'entre eux
Il n'y a donc pas un nombre fini de p premiers tels que $ p\equiv 3 [4] $

En première on établit la formule de l'équiprobabilité $ P(A)=card(A)/Card(\Omega) $ , non ?

Vous avez fait une première quoi ?

S et toi ?
PS: Ma prof avait son doctorat de Maths sur les équas diffs comme sujet. Elle enseignait à l'école Normale de Marrakech en parallèle ...
Donc disons qu'on a eu de bonnes bases

Mon prof de 1èreS était une brute en proba aussi, mais bon, il devait s'adapter à qui il avait en face...

[Siméon]

On note $ \delta $ l'ensemble des chemins entre deux points de $ K_n $, montrez que :

$ card( \delta )= \frac{1}{6} n^4 - \frac{4}{3} n^3 + \frac{23}{6} n^2 - \frac{11}{3} n +1 $

C'est louche ! Il y a au moins autant de chemins de $ 1 $ à $ n $ dans $ K_n $ que de permutations de $ \{2,3,\dots,n-1\} $.

[darklol]

On note $ \delta $ l'ensemble des chemins entre deux points de $ K_n $, montrez que :

$ card( \delta )= \frac{1}{6} n^4 - \frac{4}{3} n^3 + \frac{23}{6} n^2 - \frac{11}{3} n +1 $

C'est louche ! Il y a au moins autant de chemins de $ 1 $ à $ n $ dans $ K_n $ que de permutations de $ \{2,3,\dots,n-1\} $.

Exact, d'ailleurs si je ne me suis pas trompé il y a une relation de récurrence assez facile à obtenir pour $ |\delta_n| $ qui est: $ |\delta_{n+1}| = (n-1)|\delta_n| + 1 $

[Siméon]

Ceux qui cherchent des problèmes sympas sur lesquels réfléchir à niveau $ \text{bac}\pm\varepsilon $ peuvent aller regarder la « question du jeudi » du site culturemath.ens.fr. Par exemple :

Question du jeudi #51 (déjà corrigée) : Résoudre (à la main !) l'équation $ x^2+x=1111111122222222 $.

Question du jeudi #54 (correction le 10 mars) : Alice et Bob jouent à un jeu : Alice a mélangé un jeu de 32 cartes et a étalé les cartes en rang sur une table, face cachée. Elle va retourner une à une toutes les cartes. Entre le début du jeu et le moment où Alice retournera la dernière carte, Bob devra annoncer « Stop ! ». Il aura alors gagné si la carte suivante s'avère être rouge, et perdu sinon. Quelle est la meilleure stratégie pour Bob ?