Exercices de MPSI

[wallissen]

Ah d'accord ! Je viens de comprendre, là où tu voulais en venir . Merci !

C'est vrai que ce que j'ai rédigé manque cruellement de rigueur

[darklol]

L'idée de décomposer en facteurs premiers était bonne en tout cas. C'est juste que dans une bonne rédaction, il vaut mieux ne pas oublier d'écrire le point clé qui est ici que le dénominateur divise le numérateur

[wallissen]

En effet c'est l'argument principal.

[darklol]

Un exercice:

1) Soit $ n \in \mathbb{N}^* $ et soient $ x_1, x_2, ..., x_n $ des réels positifs. Montrer (niveau première S) que:

$ \left( \prod \limits_{i=1}^n {x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {x_i} $
(inégalité arithmético-géométrique).

Indication (difficile sans):

SPOILER:

Commencer par le montrer quand $ n $ est une puissance de 2.
Puis s'en servir pour le cas général.

2) Application: montrer que
$ \forall x \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \leq \left( 1 + \frac{x}{n+1} \right)^{n+1} $.

La réponse à la question 1) est élémentaire mais très astucieuse. Vous pouvez commencer par faire la question 2) qui est plus facile.

[PiCarréSurSix]

Question 3 : Euh j'ai jamais entendu parlé "d'inversibilité" avec les congruences... Je connais pas. Sinon ya plus simple --> Factorisation

En fait tu te bases sur le fait que $ a $ et $ p $ sont premiers entre eux alors l'équation de Bezout $ au+pk=1 $ admet un couple d'entiers $ (u;k) $ solutions d'où $ au=1-pk $ et $ au \equiv 1 \pmod p $ d'où l'existence de l'inverse $ u $ de $ a $

Merci pour la correction, je me penche dessus cet aprem.

Et si les deux sont nuls ?
Je dois avoir mal compris, ça m'a l'air trivial :mgreen:

Ahaha, en effet, j'aurais du dire au moins un des deux ! j'édite.
Ça à l'air trivial, mais on a jamais démontré que $ i*0 = 0 $ ? Du moins que 0 "annulait" la multiplication dans les complexes :')
Bref, laisse tomber cet exo ahaha, je devrais en avoir des meilleurs un de ces quatre

[wallissen]

Ça à l'air trivial, mais on a jamais démontré que $ i*0 = 0 $ ? Du moins que 0 "annulait" la multiplication dans les complexes :')

C'est une convention , non ?
Enfin si c'est pas égale à zéro, ça voudrait peut être dire qu'on peut diviser par zéro.

[Charo]

C'est pas vraiment une convention c'est une propriété plus générale sur les anneaux.

[darklol]

Ça à l'air trivial, mais on a jamais démontré que $ i*0 = 0 $ ? Du moins que 0 "annulait" la multiplication dans les complexes :')

C'est une convention , non ?
Enfin si c'est pas égale à zéro, ça voudrait peut être dire qu'on peut diviser par zéro.

Ça n'est pas qu'une convention, ça se montre: $ 0 = 0 + 0 $ donc pour $ z \in \mathbb{C} $, $ z \cdot 0 = z \cdot (0 + 0) = z \cdot 0 + z \cdot 0 $ (en utilisant la distributivité de $ \cdot $ par rapport à $ + $) puis on soustrait $ z \cdot 0 $ de chaque côté pour trouver $ z \cdot 0 = 0 $.

Reste à montrer effectivement la distributivité de $ \cdot $ par rapport à $ + $ uniquement avec les formules $ (a + i b) + (a' + i b') = (a + a') + i(b + b') $ et $ (a + ib) \cdot (a' + ib') = (a a' - b b') + i(a b' + b a') $

[PiCarréSurSix]

Oulaaaaaa, moi j'avais un truc avec des modules, du style on montre que $ |z|=0 \Leftrightarrow z = 0 $ puis que $ |zz'| = |z| |z'| $ puis après la conclusion s'impose.

A oublier je pense donc

[bullquies]

...
Ce que je lis me pique les yeux...