Exercices de MPSI

[mathophilie]

PiCarréeSurSix, si ca te tente, voilà un exo posté par Charo :

Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R} $.

On a, pour tout réel $ x $, $ f(x) = f(\frac{x+1}{2}) $. Démontrer que $ f $ est constante.

[PiCarréSurSix]

Hmmm, je vais regarder ça aussi ! Je crois que j'ai une idée pour celui la, je vais voir ca.

[VanXoO]

PiCarréSur6, je te conseille de refaire cet exo. Il y a beaucoup de problèmes, et il vaut mieux que tu les corriges avant de passer à un autre exo...

Soit p dans P (l'ensemble des nombres premiers).
1. Montrer que $ \forall k \in N $, $ 0 < k < p $ : $ \binom{p}{k} $ est divisible par p.
2. Montrer que pour tout x de N, on a $ x^p-x $ divisible par p.
3; En déduire le petit théorème de Fermat : si p est premier et a est un entier non divisible par p, alors a^{p-1}-1\equiv 0 \pmod p.

La formule qu'on n'a pas vu en cours de Term normalement (du moins je l'ai pas vue ou pas encore vue en cours) est : $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

SPOILER:

On montre par récurrence sur k que $ \forall k \in N $, $ 0 < k < p $ : $ \binom{n}{k} $ est divisible par p.
Initialisation pour k=1 :
$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-1)!}=n $
Or, tout nombre supérieur à deux admet un diviseur premier (la flemme de le redémontrer, je l'admet, mais sinon par récurrence forte)
D'où p|n, et la propriété est vérifiée au rang 1.

Bon, il y avait effectivement une erreur dans l'énoncé de matholphilie, mais quand même.
L'énoncé commence par "Soit $ p $ un nombre premier" : il est donc fixé dans la suite de l'exercice. Tu ne peux pas dire "machin admet un diviseur premier donc machin est divisible par $ p $".

SPOILER:

Hérédité :Supposons que $ p|\binom{n}{k} $pour un entier naturel k fixé. Démontrons que $ p|\binom{n}{k+1} $
Montrons tout d'abord que $ (n+1)!\equiv 0\pmod p $
En effet, par hypothèse, $ p|\binom{n}{k} $ donc $ \frac{n!}{k!(n-k)!}\equiv 0\pmod p $ et $ n!\equiv 0\pmod p $ d'où $ (n+1)!\equiv 0\pmod p $.
De plus, par hypothèse, $ p|\binom{n}{k} $ donc $ p|\binom{n+1}{k+1}-\binom{n}{k+1} $ et $ \frac{n+1!}{(k+1)!(n-k)!}-\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\equiv 0\pmod p $
Comme $ (n+1)!\equiv 0\pmod p $, $ \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\equiv 0\pmod p $ et $ p|\binom{n}{k+1} $.
La propriété est donc héréditaire.

Ici, c'est une erreur de manip dans tes congruences : ce n'est pas parce que $ (n+1)! \equiv 0 \mod p $ que automatiquement $ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \equiv 0 \mod p $. Par exemple, $ 12 \equiv 0 \mod 6 $ mais $ \frac{12}{3} = 4 \not\equiv 0 \mod 6 $.

SPOILER:

On cherche à montrer (toujours) par récurrence sur x que $ p|x^p-x $.
Initialisation pour x=0 :
$ 0^p-0=0 $
et $ p|0 $
La propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité :Supposons que $ p|x^p-x $ pour un entier naturel x fixé. Démontrons que $ p|(x+1)^p-(x+1) $
Remarquons que $ (x+1)^p= x^p +\sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k $ d'après le binôme de Newton. Or, $ \sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k $ est divisible par $ \binom{p}{k} $, qui est lui même divisible par p pour tout k<p.
Pour k = p, $ \sum_{k=0}^{p} x^{p-k} 1^k = 1 $, d'où $ \sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k \equiv 1\pmod p $.
Ainsi, par hypothèse, $ x^p\equiv x\pmod p $ d'où $ x^p +\sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k \equiv x+1\pmod p $ et $ (x+1)^p - (x+1) \equiv 0\pmod p $

Bon alors ici ton binome de Newton est faux comme mathophilie te l'a dit. D'une part, $ (x+1)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^{p-k} 1^k $.
C'est pour ça que le fait que $ p | \binom{p}{k} $ intervient ! Dans ta formule, il n'y a pas de coeff binomial, et tu en parachutes un comme par magie... Pourquoi affirmes-tu quelque chose comme "Or, $ \sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k $ est divisible par $ \binom{p}{k} $" ? De un, ça ne veut rien dire, parce $ k $ est l'indice de sommation (donc muet, tu pourrais le remplacer par i ou j), donc il n'a pas une valeur fixée donc le coefficient binomial tout seul n'a aucune sens. De deux, si ça voulait dire quelque chose (genre pour un certain $ k $ ou pour tout $ k $), ce serait faux, et d'ailleurs tu le sors de nulle part sans démonstration. De trois, même si c'était vrai et que ta somme était divisible par $ p $, ça ne finirait pas l'exo puisqu'elle serait congrue à 0 et non à 1 mod $ p $ comme tu l'affirmes à la ligne suivante !

Bon, en conclusion, le problème ici c'est que tu enchaines les erreurs à la fois techniques et de raisonnement, et que tu arrives quand même au résultat sans te poser de questions... chaque arnaque en compense une autre x). Essaie de comprendre tes erreurs et de refaire l'exo.

[PiCarréSurSix]

Ahaha, merci VanXoO pour tes conseils.

Je me disais bien que je comprenais pas trop ce que je faisais.

Ici, c'est une erreur de manip dans tes congruences : ce n'est pas parce que $ (n+1)! \equiv 0 \mod p $ que automatiquement $ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \equiv 0 \mod p $. Par exemple, $ 12 \equiv 0 \mod 6 $ mais $ \frac{12}{3} = 4 \not\equiv 0 \mod 6 $.

Je note, je me disais en effet qu'au quel cas il faut que $ \frac{1}{(k+1)!(n-k)!} $ soit entier.

Bon alors ici ton binome de Newton est faux comme mathophilie te l'a dit. D'une part, $ (x+1)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^{p-k} 1^k $.
C'est pour ça que le fait que $ p | \binom{p}{k} $ intervient ! Dans ta formule, il n'y a pas de coeff binomial, et tu en parachutes un comme par magie...

Alors ca c'est juste un oubli de ma part, je l'ai oublié en recopiant ma formule, je suis pas encore un pro du Latex à ce que tu peux voir.

Bref, j'y réfléchis et j'y retourne tout à l'heure.
Par contre j'ai eu le temps de résoudre l'exercice de Charo, et je me demande si y'a pas une embrouille aussi.

Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R} $.

On a, pour tout réel $ x $, $ f(x) = f(\frac{x+1}{2}) $. Démontrer que $ f $ est constante.

SPOILER:

Edit : Non rien en fait
C'est trop simple, doit y'avoir une embrouille.

Et dire qu'au début je pensais faire une combinaison de raisonnement par l'absurde et du théorème des valeurs intermédiaires pour le résoudre :')

[PiCarréSurSix]

Ah oui en effet. Bien vu je me disais c’était un peu simple quand même.

[Nico_]

Bon, on pose $ \Delta (x) = f(x) $
et $ \Phi (x) = f(\frac{x+1}{2}) $
Soit $ x $ dans $ \mathbb{R} $.
On a pour tout x : $ \Delta (x) = \Phi (x) $
Ce qui implique : $ \Delta '(x) = \Phi '(x) $
D'où : $ f'(x) = \frac{1}{2} f'(\frac{x+1}{2}) $

Je me demande comment on peut rédiger d'une telle manière quand même

[Ewind]

Bon, on pose $ \Delta (x) = f(x) $
et $ \Phi (x) = f(\frac{x+1}{2}) $
Soit $ x $ dans $ \mathbb{R} $.
On a pour tout x : $ \Delta (x) = \Phi (x) $
Ce qui implique : $ \Delta '(x) = \Phi '(x) $
D'où : $ f'(x) = \frac{1}{2} f'(\frac{x+1}{2}) $

Je me demande comment on peut rédiger d'une telle manière quand même

Il est en terminale, c'est normal

[PiCarréSurSix]

Accordez moi un léger temps d'adaptation

[darklol]

Le problème pour votre exercice c'est qu'il faut utiliser une définition rigoureuse de la continuité, je ne suis pas sûr que cela soit connu de tous les élèves de terminale de France...

[wallissen]

Déterminer la limite, quand n tend vers l'infini , de la suite définie, pour tout $ n \in \mathbb{N^*} $, par

$ u_n = \frac{1}{n}(1 + \cos^2 (\frac{\pi}{n}) + \cos^2( \frac{2\pi}{n}) + ... + \cos^2 (\frac{n\pi}{n})) $

Indice

SPOILER:

On pourra se servir de la fonction $ f(x) = cos^2(x) $

Montrer que, si f est une fonction définie sur le segment [a,b] admettant sur ce segment des dérivées $ f', f'', ..., f^{(n)} $ continues, on a

$ f(b) - f(a) = \frac{b-a}{1!}f'(a) + ...+ \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) $ $ + \int_{a}^{b} \frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(x)dx $

Indice :

SPOILER:

Intégrer par parties le dernier terme de l'égalité