Charo a écrit :Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R} $.
On a, pour tout réel $ x $, $ f(x) = f(\frac{x+1}{2}) $. Démontrer que $ f $ est constante.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
PiCarréeSurSix, si ca te tente, voilà un exo posté par Charo :
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Hmmm, je vais regarder ça aussi ! Je crois que j'ai une idée pour celui la, je vais voir ca.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
PiCarréSur6, je te conseille de refaire cet exo. Il y a beaucoup de problèmes, et il vaut mieux que tu les corriges avant de passer à un autre exo...
Bon, il y avait effectivement une erreur dans l'énoncé de matholphilie, mais quand même.
L'énoncé commence par "Soit $ p $ un nombre premier" : il est donc fixé dans la suite de l'exercice. Tu ne peux pas dire "machin admet un diviseur premier donc machin est divisible par $ p $".
Ici, c'est une erreur de manip dans tes congruences : ce n'est pas parce que $ (n+1)! \equiv 0 \mod p $ que automatiquement $ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \equiv 0 \mod p $. Par exemple, $ 12 \equiv 0 \mod 6 $ mais $ \frac{12}{3} = 4 \not\equiv 0 \mod 6 $.
Bon alors ici ton binome de Newton est faux comme mathophilie te l'a dit. D'une part, $ (x+1)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^{p-k} 1^k $.
C'est pour ça que le fait que $ p | \binom{p}{k} $ intervient ! Dans ta formule, il n'y a pas de coeff binomial, et tu en parachutes un comme par magie... Pourquoi affirmes-tu quelque chose comme "Or, $ \sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k $ est divisible par $ \binom{p}{k} $" ? De un, ça ne veut rien dire, parce $ k $ est l'indice de sommation (donc muet, tu pourrais le remplacer par i ou j), donc il n'a pas une valeur fixée donc le coefficient binomial tout seul n'a aucune sens. De deux, si ça voulait dire quelque chose (genre pour un certain $ k $ ou pour tout $ k $), ce serait faux, et d'ailleurs tu le sors de nulle part sans démonstration. De trois, même si c'était vrai et que ta somme était divisible par $ p $, ça ne finirait pas l'exo puisqu'elle serait congrue à 0 et non à 1 mod $ p $ comme tu l'affirmes à la ligne suivante !
Bon, en conclusion, le problème ici c'est que tu enchaines les erreurs à la fois techniques et de raisonnement, et que tu arrives quand même au résultat sans te poser de questions... chaque arnaque en compense une autre x). Essaie de comprendre tes erreurs et de refaire l'exo.
Soit p dans P (l'ensemble des nombres premiers).
1. Montrer que $ \forall k \in N $, $ 0 < k < p $ : $ \binom{p}{k} $ est divisible par p.
2. Montrer que pour tout x de N, on a $ x^p-x $ divisible par p.
3; En déduire le petit théorème de Fermat : si p est premier et a est un entier non divisible par p, alors a^{p-1}-1\equiv 0 \pmod p.
La formule qu'on n'a pas vu en cours de Term normalement (du moins je l'ai pas vue ou pas encore vue en cours) est : $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
SPOILER:
L'énoncé commence par "Soit $ p $ un nombre premier" : il est donc fixé dans la suite de l'exercice. Tu ne peux pas dire "machin admet un diviseur premier donc machin est divisible par $ p $".
SPOILER:
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C'est pour ça que le fait que $ p | \binom{p}{k} $ intervient ! Dans ta formule, il n'y a pas de coeff binomial, et tu en parachutes un comme par magie... Pourquoi affirmes-tu quelque chose comme "Or, $ \sum_{k=1}^{p} x^{p-k} 1^k $ est divisible par $ \binom{p}{k} $" ? De un, ça ne veut rien dire, parce $ k $ est l'indice de sommation (donc muet, tu pourrais le remplacer par i ou j), donc il n'a pas une valeur fixée donc le coefficient binomial tout seul n'a aucune sens. De deux, si ça voulait dire quelque chose (genre pour un certain $ k $ ou pour tout $ k $), ce serait faux, et d'ailleurs tu le sors de nulle part sans démonstration. De trois, même si c'était vrai et que ta somme était divisible par $ p $, ça ne finirait pas l'exo puisqu'elle serait congrue à 0 et non à 1 mod $ p $ comme tu l'affirmes à la ligne suivante !
Bon, en conclusion, le problème ici c'est que tu enchaines les erreurs à la fois techniques et de raisonnement, et que tu arrives quand même au résultat sans te poser de questions... chaque arnaque en compense une autre x). Essaie de comprendre tes erreurs et de refaire l'exo.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ahaha, merci VanXoO pour tes conseils.
Je me disais bien que je comprenais pas trop ce que je faisais.
Bref, j'y réfléchis et j'y retourne tout à l'heure.
Par contre j'ai eu le temps de résoudre l'exercice de Charo, et je me demande si y'a pas une embrouille aussi.
Et dire qu'au début je pensais faire une combinaison de raisonnement par l'absurde et du théorème des valeurs intermédiaires pour le résoudre :')

Je me disais bien que je comprenais pas trop ce que je faisais.
Je note, je me disais en effet qu'au quel cas il faut que $ \frac{1}{(k+1)!(n-k)!} $ soit entier.Ici, c'est une erreur de manip dans tes congruences : ce n'est pas parce que $ (n+1)! \equiv 0 \mod p $ que automatiquement $ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \equiv 0 \mod p $. Par exemple, $ 12 \equiv 0 \mod 6 $ mais $ \frac{12}{3} = 4 \not\equiv 0 \mod 6 $.
Alors ca c'est juste un oubli de ma part, je l'ai oublié en recopiant ma formule, je suis pas encore un pro du Latex à ce que tu peux voir.Bon alors ici ton binome de Newton est faux comme mathophilie te l'a dit. D'une part, $ (x+1)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^{p-k} 1^k $.
C'est pour ça que le fait que $ p | \binom{p}{k} $ intervient ! Dans ta formule, il n'y a pas de coeff binomial, et tu en parachutes un comme par magie...

Bref, j'y réfléchis et j'y retourne tout à l'heure.
Par contre j'ai eu le temps de résoudre l'exercice de Charo, et je me demande si y'a pas une embrouille aussi.
Charo a écrit :Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R} $.
On a, pour tout réel $ x $, $ f(x) = f(\frac{x+1}{2}) $. Démontrer que $ f $ est constante.
SPOILER:
Dernière modification par PiCarréSurSix le 12 mars 2016 20:37, modifié 1 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ah oui en effet. Bien vu je me disais c’était un peu simple quand même.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je me demande comment on peut rédiger d'une telle manière quand mêmePiCarréSurSix a écrit :Bon, on pose $ \Delta (x) = f(x) $
et $ \Phi (x) = f(\frac{x+1}{2}) $
Soit $ x $ dans $ \mathbb{R} $.
On a pour tout x : $ \Delta (x) = \Phi (x) $
Ce qui implique : $ \Delta '(x) = \Phi '(x) $
D'où : $ f'(x) = \frac{1}{2} f'(\frac{x+1}{2}) $

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Il est en terminale, c'est normalNico_ a écrit :Je me demande comment on peut rédiger d'une telle manière quand mêmePiCarréSurSix a écrit :Bon, on pose $ \Delta (x) = f(x) $
et $ \Phi (x) = f(\frac{x+1}{2}) $
Soit $ x $ dans $ \mathbb{R} $.
On a pour tout x : $ \Delta (x) = \Phi (x) $
Ce qui implique : $ \Delta '(x) = \Phi '(x) $
D'où : $ f'(x) = \frac{1}{2} f'(\frac{x+1}{2}) $

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Accordez moi un léger temps d'adaptation 

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Le problème pour votre exercice c'est qu'il faut utiliser une définition rigoureuse de la continuité, je ne suis pas sûr que cela soit connu de tous les élèves de terminale de France...
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
IndiceDéterminer la limite, quand n tend vers l'infini , de la suite définie, pour tout $ n \in \mathbb{N^*} $, par
$ u_n = \frac{1}{n}(1 + \cos^2 (\frac{\pi}{n}) + \cos^2( \frac{2\pi}{n}) + ... + \cos^2 (\frac{n\pi}{n})) $
SPOILER:
Indice :Montrer que, si f est une fonction définie sur le segment [a,b] admettant sur ce segment des dérivées $ f', f'', ..., f^{(n)} $ continues, on a
$ f(b) - f(a) = \frac{b-a}{1!}f'(a) + ...+ \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) $ $ + \int_{a}^{b} \frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(x)dx $
SPOILER: