Soit P_n la proposition pour n de N telle que : pour $ x_1, x_2, ..., x_n $ des réels positifs, $ \left( \prod \limits_{i=1}^n {x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {x_i} $
- On démo que pour tout n de N, si $ P_n $ est vraie, alors $ P_{2n} $ l'est aussi.
On commence par démo que $ P_2 $ est vraie.(thanks to le spoiler on y pense
)
Remarquons que $ (\frac{x_1 - x_2}{2})^2 \ge 0 $, donc en développant $ \frac{x_1^2}{4} + \frac{x_2^2}{4} - \frac{x_1x_2}{2} \ge 0 $.
D'où en sommant $ x_1x_2 $ des deux cotés : $ x_1x_2 \le \frac{1}{4}(x_1+x_2)^2 $, soit $ (x_1x_2)^\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}(x_1+x_2) $ (car x_i positif). CQFD.
Initialisation : On sait que $ P_2 $ est vraie.
$ Q_4 = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = \frac{x_1 + x_2}{4} + \frac{x_3 + x_4}{4} = \frac{1}{2}(\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}) $ (on cherche à se ramener à un truc ressemblant à P2)
De plus P2 est vraie, d'où $ Q_4 \ge \frac{1}{2}((x_1x_2)^{\frac{1}{2}} + (x_3x_4)^{\frac{1}{2}}) $
Et en réutilisant $ P_2 $, $ \frac{1}{2}((x_1x_2)^\frac{1}{2} + (x_3x_4)^\frac{1}{2}) \ge (x_1x_2x_3x_4)^{\frac{1}{4}} $
Donc $ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \ge (x_1x_2x_3x_4)^{\frac{1}{4}} $. CQFD.
Hérédité : On suppose $ P_n $ vraie pour un rang n de N donné.
En remarquant que $ Q_{2n} = \frac{1}{2}(\frac{x_1 + ... + x_n}{n} + \frac{x_{n+1} + ... + x_{2n}}{n}) $, on démontre pareillement avec $ P_n $ que :
$ Q{2n} \ge \frac{1}{2}((x_1...x_n)^{\frac{1}{n}} + (x_{n+1}...x_{2n})^{\frac{1}{n}}) $
Puis avec $ P_2 $ que $ \frac{1}{2}((x_1...x_n)^{\frac{1}{n}} + (x_{n+1}...x_{2n})^{\frac{1}{n}}) \ge (x_1...x_{2n})^{\frac{1}{2n}}. $. CQFD par récurrence.
- On démo maintenant que si $ P_{n+1} $ vraie, alors $ P_n $ vraie (une récurrence en mode marche arrière)
Initialisation : $ P_2 $ et $ P_1 $ sont vraies.
Hérédité : Supposons $ P_{n+1} $ vraie à un rang n de N donné. On note $ Q_n = \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {x_i} $
Remarquons, en essayant de trouver une expression impliquant $ P_{n+1} $ et $ P_n $, que :
$ \frac{x_1 + ...+ x_n + Q_n}{n+1} = \frac{(n+1)(x_1 + ... + x_n)}{n(n+1)}= Q_n $
Ainsi comme $ Q_{n+1} $ vraie, on a $ Q_n \ge (x_1x_2...x_nQ_n)^{\frac{1}{n+1}} $
Soit élevant à la puissance n+1ème et en divisant par Q_n (qui est non nul) : $ Q_n^n \ge x_1x_2...x_n $.
En repassant à la racine n ème (le mode racine / puissance, ca s'en va et ca revient, c'est comme un tout petit rien...) : $ Q_n \ge (x_1x_2...x_n)^\frac{1}{n} $.
CQFD par récurrence.
Conclusion, on a démo que pour tout n de N, si $ P_n $ est vraie, alors $ P_{2n} $ l'est aussi, donc que pour tout i,$ P_{2^i} $ est vraie. De plus si $ P_{n+1} $ vraie, alors $ P_n $ vraie. Donc pour tout $ k $inférieur à $ n+1 $ lui même inférieur à $ 2^i $, $ P_k $ est vraie. En "étirant" i à l'infini (puisque vrai pour tout i de N), on a bien démo que pour tout n dans N, $ \left( \prod \limits_{i=1}^n {x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {x_i} $
Sur ce adieu, je vais me coucher.
