Exercices de MPSI

[Syl20]

Ah ok, je viens de comprendre Je suis un peu long à la détente.
Merci de vos éclairages !

[mathophilie]

Un mignon :

Soit x et y dans N*. Supposons qu'il existe m et n premiers entre eux tels que $ x^m = y^n $. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul z tel que $ z^m = y $ et que $ z^n = x $

[Syl20]

Un mignon :

Soit x et y dans N*. Supposons qu'il existe m et n premiers entre eux tels que $ x^m = y^n $. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul z tel que $ z^m = y $ et que $ z^n = x $

Mignon en effet Mais il nécessite Latex

SPOILER:

Déjà, si on décompose x et y en facteurs premiers, il ont les mêmes facteurs premiers. On a ainsi :
$ x^m=p_1^{a_1m}p_2^{a_2m}...p_i^{a_im} $ et $ y^n=p_1^{b_1n}p_2^{b_2n}...p_i^{b_in} $
Or, pour que ces deux entiers soient égaux, il faut que les exposants soient égaux :$ a_km=b_kn $
Or, n est premier, donc m divise $ b_k $ d'après Bézout. On a donc $ b_k=q_k.m, q_k\in \mathbb{N}^* $
On trouve alors $ a_k=q_k.n $
Ainsi, on peut réecrire $ x^m=p_1^{q_1mn}p_2^{q_2mn}...p_i^{q_imn} $ et $ y^n=p_1^{q_1mn}p_2^{q_2mn}...p_i^{q_imn} $
On trouve alors, pour $ z=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_i^{q_i}, z^n=x $ et $ z^m=y $

[PiCarréSurSix]

J'etais loin encore d'aller jusqu'a la décomposition en nombres premiers

[mathophilie]

Un mignon :

Soit x et y dans N*. Supposons qu'il existe m et n premiers entre eux tels que $ x^m = y^n $. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul z tel que $ z^m = y $ et que $ z^n = x $

Mignon en effet Mais il nécessite Latex

SPOILER:

Déjà, si on décompose x et y en facteurs premiers, il ont les mêmes facteurs premiers. On a ainsi :
$ x^m=p_1^{a_1m}p_2^{a_2m}...p_i^{a_im} $ et $ y^n=p_1^{a_1n}p_2^{a_2n}...p_i^{a_in} $
Or, pour que ces deux entiers soient égaux, il faut que les exposants soient égaux :$ a_km=b_kn $
Or, n est premier, donc m divise $ b_k $ d'après Bézout. On a donc $ b_k=q_k.m, q_k\in \mathbb{N}^* $
On trouve alors $ a_k=q_k.n $
Ainsi, on peut réecrire $ x^m=p_1^{q_1mn}p_2^{q_2mn}...p_i^{q_imn} $ et $ y^n=p_1^{q_1mn}p_2^{q_2mn}...p_i^{q_imn} $
On trouve alors, pour $ z=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_i^{q_i}, z^n=x $ et $ z^m=y $

Tout à fait ! Attention dans ta deuxième ligne pour $ y_n $, ce ne sont pas des $ a_i $ mais des $ b_i $.
On peut aussi faire par analyse synthèse (fin c'est ce que j'ai fait, thx le poly de LLG pour m'avoir appris cette méthode ) sans forcément passer par la décomposition en facteurs premiers :
m et n premiers entre eux --> (Bézout) il existe $ (u;v) \in Z^2 / mu+nv = 1 $
Supposons l'existence de z. Alors on a $ z = z^{mu + nv} = z^{mu} * z^{nv} = y^ux^v $
On vérifie ensuite que $ z=y^ux^v $ marche en élevant à la puissance n (on trouve bien x) puis à la puissance m (on trouve bien y) --> CQFD.

[mathophilie]

J'etais loin encore d'aller jusqu'a la décomposition en nombres premiers

Tu viens d'arriver c'est normal

[Syl20]

J'etais loin encore d'aller jusqu'a la décomposition en nombres premiers

La probabilité d'une décomposition en facteurs premiers dans un exercice de mathophilie est d'environ... Pi carré sur six
Nan en vrai si tu continues à regarder les corrections et que t'essaie de faire les exos du topic, tu vas rapidement progresser !

[Syl20]

Tout à fait ! Attention dans ta deuxième ligne pour $ y_n $, ce ne sont pas des $ a_i $ mais des $ b_i $.
On peut aussi faire par analyse synthèse (fin c'est ce que j'ai fait, thx le poly de LLG pour m'avoir appris cette méthode ) sans forcément passer par la décomposition en facteurs premiers :
m et n premiers entre eux --> (Bézout) il existe $ (u;v) \in Z^2 / mu+nv = 1 $
Supposons l'existence de z. Alors on a $ z = z^{mu + nv} = z^{mu} * z^{nv} = y^ux^v $
On vérifie ensuite que $ z=y^ux^v $ marche en élevant à la puissance n (on trouve bien x) puis à la puissance m (on trouve bien y) --> CQFD.

Ah oui erreur de recopiage
Encore faut-il savoir ce que signifie analyse-synthèse

[mathophilie]

Tu détermines à quoi la solution pourrait ressembler et ensuite tu verifies que c'est bon. On a déjà utilisé cette méthode en spé maths pour je sais plus quelle démo d'arithmétique, par chez nous.

[Syl20]

Ok je vois le genre. Faudrait que je m'y mette à regarder le poly de pré-rentrée !
Sinon, un exo facile mais assez joli je trouve (PiCarréSurSix tu dois pouvoir le faire ):

Montrer que pour tout premier $ p\geq 5 $, $ p^2-1 $ est un multiple de 24