Exercices de MPSI

[mathophilie]

Tu parles de quel exo ?

[mathophilie]

Un autre pas difficile mais joli :

Démontrer l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

[Syl20]

Tu parles de quel exo ?

Le mien j'imagine

Un autre pas difficile mais joli :

Démontrer l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

SPOILER:

De 1000! à 1000!+999 non ?

#mathsdansmonlit

[Pauwl]

C'est bien ça.
Pour être plus rapide tu peux faire les deux récurrences en même temps, ça t'évite d'en rédiger deux entièrement.

Par contre j'ai un petit problème avec ta dernière ligne. On n'a pas $ f(u_0)=l $ (c'est peut-être une coquille ?). Il faut préciser que $ \forall n \in \mathbb{N}, f(u_n)=f(x) $ et en passant à la limite, par continuité de f (argument important, à écrire), $ f(1)=f(x) $

Comment je suis censé faire les deux récurrences en même temps ?
Pour la rédaction c'est une coquille dans la sens où je voulais écrire $ f(u_0)=f(l) $ mais j'ai pas pensé à parler de la continuité de f donc ma faute

[mathophilie]

Tu parles de quel exo ?

Le mien j'imagine

Un autre pas difficile mais joli :

Démontrer l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

SPOILER:

De 1000! à 1000!+999 non ?

#mathsdansmonlit

Ah ok.
Non, un contre -exemple : 1000! + 1.

#mathsdansmonlit

#ahparcequunlitnapasétécréépouryfairedesmaths ?

[Syl20]

Non, un contre -exemple : 1000! + 1.

Ah oui au temps pour moi,je me suis précipité

SPOILER:

De 1000 ! +2 à 1000!+1001 (sachant que 1001 est un multiple de 7)

#mathsdansmonlit

#ahparcequunlitnapasétécréépouryfairedesmaths ?

Le sujet du cg de philo ?

[mathophilie]

Non, un contre -exemple : 1000! + 1.

Ah oui au temps pour moi,je me suis précipité

SPOILER:

De 1000 ! +2 à 1000!+1001 (sachant que 1001 est un multiple de 7)

Oui voilà Nice !
Sinon, si on veut pas avoir à connaître la table de 7 jusqu'à 1001 : de $ 1001! + 2 $ à $ 1001! + 1001 $

[mathophilie]

Je le mets là parce qu'il n'avait pas grand lien avec l'autre message :

Un que je viens de finir, mais j'ai fait un truc peu rigoureux, donc je sais pas si c'est juste, je laisse ceux qui veulent le test et posterai ma résolution en même temps qu'eux pour savoir si c'est juste . L'exo en question : (il me semble que c'est un X PC de mémoire, je sais plus sur quel lien ou liste d'exos je l'ai trouvé. Fin bon ca doit être un exo de dernière minute, pour l'X)

Soit x et y dans N avec x et y différents de 0 et 1. Soit n un entier naturel non nul.
On pose $ x^n + y^n $ premier. Démontrer que n peut s'écrire $ n = 2^i $ avec i dans N.

[phibang]

C'est bien ça.
Pour être plus rapide tu peux faire les deux récurrences en même temps, ça t'évite d'en rédiger deux entièrement.

Par contre j'ai un petit problème avec ta dernière ligne. On n'a pas $ f(u_0)=l $ (c'est peut-être une coquille ?). Il faut préciser que $ \forall n \in \mathbb{N}, f(u_n)=f(x) $ et en passant à la limite, par continuité de f (argument important, à écrire), $ f(1)=f(x) $

Comment je suis censé faire les deux récurrences en même temps ?

Dans le cas où $ u_0 \leq 1 $ :
Dans l'initialisation tu montres que $ u_1=\frac{x+1}{2} \geq u_0 $ car $ u_0 \geq 1 $. Tu montres également que $ u_0 \geq 0 $ (ou 1, c'est mieux comme minoration)
Dans l’hérédité, tu supposes les deux propriétés vraies à un ordre n et tu montres que $ u_{n+1}\geq u_{n+2} et que u_{n+1} \geq 0 $ (ou 1), en exploitant tes deux hypothèses de récurrence (comme tu l'as fait)
C'est une récurrence "normale" mais avec deux propriétés à montrer. C'est juste un peu plus succinct comme rédaction.

Pour la rédaction c'est une coquille dans le sens où je voulais écrire $ f(u_0)=f(l) $ mais j'ai pas pensé à parler de la continuité de f donc ma faute

Bah il aurait fallu. c'est un argument important, vraiment. Il faut toujours le mentionner lorsque tu passes à la limite dans ces cas là.

[mathophilie]

Le sujet du cg de philo ?

Ahah t'es bête Ben au moins je pourrai développer une thèse empiriste, l'ayant moi-même expérimenté

Comment je suis censé faire les deux récurrences en même temps ?

Tonio1804 te l'a montré avant, mais si c'est le fait de traiter deux propositions dans une même récurrence qui te gêne, je pense que tu peux aussi tout simplement démo la proposition : $ u_n \ge u_{n+1} \ge 1 $. Initialisation ok, et comme $ \frac{1+1}{2} = 1 $, ben ton hérédité vient toute seule.