Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Le problème pour votre exercice c'est qu'il faut utiliser une définition rigoureuse de la continuité, je ne suis pas sûr que cela soit connu de tous les élèves de terminale de France...

C'est pas connu de tous les élèves de terminale de France, mais c'est connu par tous les élèves de terminale de France qui postent sur ce forum

J'y mets pas ma main à couper.

[Magnéthorax]

Y en a aussi dans les pages précédentes... voir page 496 par exemple pour ma part ( ici et ici )

J'avoue que tu l'as répété plusieurs fois ....
Mais bon je pense que c'est du au fait qu'on voit pas des masses de contre-exemple de fonctions (continues) pas dérivables , du coup ça devient presque naturel

On se tutoie ?

T'es lourd.

[wallissen]

Y en a aussi dans les pages précédentes... voir page 496 par exemple pour ma part ( ici et ici )

J'avoue que tu l'as répété plusieurs fois ....
Mais bon je pense que c'est du au fait qu'on voit pas des masses de contre-exemple de fonctions (continues) pas dérivables , du coup ça devient presque naturel

On se tutoie ?

T'es lourd.

Pourquoi tant de méchanceté ?

En plus le prétexte n'est pas bon , vu que je répondais à corderaide ^^

[Siméon]

Un exercice sans HP :

Quelles sont les fonctions $ f \colon \mathbb Q \to \mathbb Q $ telles que pour tout $ (x,y) \in \mathbb Q^2 $, $ f(x) -f(y) \leq (x-y)^2 $ ?

Ma proposition

SPOILER:

Par téléscopage on voit que $ f(x) - f(0) = \sum_{k=1}^{n}(f(\frac{k}{n}x) - f(\frac{k-1}{n}x)) $

Or par hypothèse $ f(\frac{k}{n}x) - f(\frac{k-1}{n}x) \leq (\frac{k}{n}x - \frac{k-1}{n}x )^2 = \frac{x^2}{n^2} $

d'où $ f(x) - f(0) \leq n \times \frac{x^2}{n^2} = \frac{x^2}{n} $

En faisant tendre n vers l'infini on a alors f(x) = f(0) qui est une valeur fixe, donc les solutions sont les fonctions constantes.

Tout n'est pas à jeter, mais comment déduis-tu $ f(x) = f(0) $ à partir de $ f(x) - f(0) \leq \frac{x^2}{n} $ ?

[Siméon]

Un autre énoncé :

Soient $ f,g $ deux fonctions de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R_+ $ telles que $ \forall (x,y) \in \mathbb R^2, f(x+y) \leq f(x)g(y) $.
On suppose que $ g(0) = 1 $ et que $ g $ est dérivable en $ 0 $. Montrer que $ \forall x \in \mathbb R, f(x) \leq f(0)e^{g'(0)x} $.

[Magnéthorax]

Pourquoi tant de méchanceté ?

En plus le prétexte n'est pas bon , vu que je répondais à corderaide ^^

Est-ce qu'on pourrait, une bonne fois pour toute, se mettre d'accord ici sur les deux points suivants :

1. Evitons le plus possible le recours au HP.
2. Si un résultat HP est nécessaire, mentionnons-le explicitement et incluons un énoncé complet.

?

Ce n'est pas un caprice. C'est un principe d'hygiène assez fondamental. Son respect vous aidera beaucoup.

Bien sûr, personne n'est obligé de me croire et est libre de continuer son petit cirque para-mathématique avec la suffisance légère qui caractérise celui qui s'enivre de sa propre assurance, comportement si répandu dans un monde travaillé par le fantasme protagorassien d'auto-fondation-engendrement.

[wallissen]

Tout n'est pas à jeter, mais comment déduis-tu $ f(x) = f(0) $ à partir de $ f(x) - f(0) \leq \frac{x^2}{n} $ ?

C'est vrai que j'ai fait un petit "forcing" en ne minorant pas à gauche..

Mais du coup est ce que cette phrase est vraie ?

Chercher les fonctions qui vérifient cette inégalité revient à chercher les fonction qui vérifient: $ \left | f(x)-f(y) \right | \leq (x-y)^2 $

[Siméon]

Peux-tu le prouver ?

[wallissen]

@Magnéthorax
J'entends bien , mais je ne vois pas le rapport entre ce qui est décrit et le tutoiement . En plus j'ai l'impression que le tutoiement est une règle générale dans les forums ( est ce une manière de mettre un peu de détente/ambiance ? ) Même si évidemment ça n'empêche pas d'être courtois , qui est une règle de base selon moi.

[wallissen]

Peux-tu le prouver ?

Je vais essayer

J'ai vu que ladmzjkf a commencé par cette phrase. ça m'avait un peu intrigué il est vrai ^^