Exercices de MPSI

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spemaths

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par spemaths » 16 mars 2016 18:53

Des exos peuvent être très bien type prépa ou au dessus du niveau bac mais guidés . ;)
Je ne nie pas que les exos ici proposes peuvent être intéressants mais ils montrent pas grand chose de la prépa ni meme des mathématiques du supérieur donc ce ne sont pas des exos "pré rentrée MPSI" mais des exo "sympa pour se creuser la tête". Autant faire des sujets d'olympiades...
Bref pour moi ce topic perd de sa vocation première

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 16 mars 2016 19:08

Je ne nie pas que les exos proposés ici peuvent être intéressants mais ils montrent pas grand chose de la prépa ni meme des mathématiques du supérieur donc ce ne sont pas des exos "pré rentrée MPSI" mais des exo "sympa pour se creuser la tête". Autant faire des sujets d'olympiades...
Parce que tu sais ce que sont les maths du supérieur ? :wink: Le but de ce topic est- je crois - non pas d'anticiper sur le programme mais de faire travailler son sens mathématique et de s'amuser / être stimuler avant d'entrer dans le sup.

Je reste d'accord avec ta première phrase, même si ce sont deux états d'esprit différents.

Après, bien sûr, on peut mettre des exos guidés, c'est la spécialité de wallissen :) Mais tu peux en trouver beaucoup plus facilement que les exos "stimulants" en feuilletant les pages "aller plus loin" d'un manuel, c'est tout.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » 16 mars 2016 20:11

spemaths a écrit :Des exos peuvent être très bien type prépa ou au dessus du niveau bac mais guidés . ;)
Je ne nie pas que les exos ici proposes peuvent être intéressants mais ils montrent pas grand chose de la prépa ni meme des mathématiques du supérieur
Pour m'être moi-même entraîné sur ce topic avant de rentrer en MPSI, je peux te dire que j'y ai appris de très nombreux trucs utiles. Après si les derniers exercices postés te conviennent pas, regarde dans les pages précédentes, y'a des compilations bourrées d'exos stylés.
8)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Syl20 » 16 mars 2016 21:24

spemaths a écrit :Des exos peuvent être très bien type prépa ou au dessus du niveau bac mais guidés . ;)
Bonsoir, si tu as des exos guidés sympas, volontiers !
Je ne nie pas que les exos ici proposes peuvent être intéressants mais ils montrent pas grand chose de la prépa ni meme des mathématiques du supérieur donc ce ne sont pas des exos "pré rentrée MPSI" mais des exo "sympa pour se creuser la tête". Autant faire des sujets d'olympiades...
Ah bon, faire marcher son sens logique et progresser tout en s'amusant, ça a un effet négatif à la rentrée en sup' ?
Bref pour moi ce topic perd de sa vocation première
Oui, tout à fait d'accord avec toi. C'était tellement mieux avant , lors de la création de ce topic, lorsque nous étions tous en 4ème et ne savions même pas ce que recouvrais le terme "fonction"...

Sinon, un exercice estampillé "pré-rentrée" :
Soit $ (u_n)_{n \geq 1} $ la suite définie par $ u_{n}=\sum_{k=2}^{n}ln(1-\frac{1}{k^2}) $ pour tout $ n \geq 1 $
Déterminer la limite de $ (u_n) $ en $ +\infty $
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 16 mars 2016 22:00

Soit $ (u_n)_{n \geq 1} $ la suite définie par $ u_{n}=\sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) $ pour tout $ n \geq 1 $Déterminer la limite de $ (u_n) $ en $ +\infty $
Déso j'ai pas le temps de rédiger mais j'aurais tendance à dire (Incertitude maximale, j'y ai passé genre... 30s. Déso c'est pas respectueux...) :
SPOILER:
Méthode des rectangles -> Tend vers +l'infini ?
Je rédigerais probablement si j'ai le temps. Mais avant, faut savoir si c'est bon... :mrgreen:

Pauwl

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Pauwl » 16 mars 2016 22:02

mathophilie a écrit :
Déso j'ai pas le temps de rédiger mais j'aurais tendance à dire (Incertitude maximale, j'y ai passé genre... 30s. Déso c'est pas respectueux...) :
SPOILER:
Méthode des rectangles -> Tend vers +l'infini ?
Je rédigerais probablement si j'ai le temps. Mais avant, faut savoir si c'est bon... :mrgreen:
SPOILER:
Apres test en python jusqu'à n=100 000 000, la somme dépasse à peine les 0.6 donc je dirais convergence

Charo

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Charo » 16 mars 2016 22:08

J'ai l'impression que vous êtes trop pressés sur ce topic. Avant de répondre, je vous conseille de bien chercher l'exercice, de prendre le temps de vous assurer que votre solution est correcte et de bien la rédiger quand vous la postez.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Syl20 » 16 mars 2016 22:12

mathophilie a écrit :
Soit $ (u_n)_{n \geq 1} $ la suite définie par $ u_{n}=\sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) $ pour tout $ n \geq 1 $Déterminer la limite de $ (u_n) $ en $ +\infty $
Déso j'ai pas le temps de rédiger mais j'aurais tendance à dire (Incertitude maximale, j'y ai passé genre... 30s. Déso c'est pas respectueux...) :
SPOILER:
Méthode des rectangles -> Tend vers +l'infini ?
Je rédigerais probablement si j'ai le temps. Mais avant, faut savoir si c'est bon... :mrgreen:
désolé mathophilie , en fait je sais pas recopier un énoncé... :oops: C'est 1-1/k², j'ai modifié quand tu rédigeais
Sinon c'est différent en effet :) Mais pas trivial, il y a un ln
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 16 mars 2016 22:31

Syl20 a écrit :
mathophilie a écrit :
Soit $ (u_n)_{n \geq 1} $ la suite définie par $ u_{n}=\sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) $ pour tout $ n \geq 1 $Déterminer la limite de $ (u_n) $ en $ +\infty $
Déso j'ai pas le temps de rédiger mais j'aurais tendance à dire (Incertitude maximale, j'y ai passé genre... 30s. Déso c'est pas respectueux...) :
SPOILER:
Méthode des rectangles -> Tend vers +l'infini ?
Je rédigerais probablement si j'ai le temps. Mais avant, faut savoir si c'est bon... :mrgreen:
désolé mathophilie , en fait je sais pas recopier un énoncé... :oops: C'est 1-1/k², j'ai modifié quand tu rédigeais
Sinon c'est différent en effet :) Mais pas trivial, il y a un ln
Ah mais c'est beaucoup plus simple comme ça (c'est mieux héhé). Je trouvais pas de factorisation mignonette pour l'autre du coup j'ai fait une vieille méthode.
Pauwl, effectivement, Python me dit la même, je me suis donc bien plantée sur mon intégration...

Rapidement par le calcul pour le - :
SPOILER:
$ ln(1-\frac{1}{k^2}) = ln(\frac{(k+1)(k-1)}{k^2}) $

Donc $ \sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) = ln(\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}*\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}) $ (en gros on a réparti les facteurs du numérateur et du dénominateurs en deux fractions qui nous arrangent bien pour le télescopage)

Par télescopage; il vient : $ \sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) = ln(\frac{n+1}{2} *\frac{1}{n}) $

D'où $ lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) = ln(0.5) $
Pour le + par contre, faut que je réfléchisse. Clairement une sale affaire au niveau de la factorisation. :|

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 16 mars 2016 23:01

Mouais bof pour l'exo erroné de Syl20 c'est à dire
Soit $ (u_n)_{n \geq 1} $ la suite définie par $ u_{n}=\sum_{k=2}^{n}ln(1+\frac{1}{k^2}) $ pour tout $ n \geq 1 $. Déterminer la limite de $ (u_n) $ en $ +\infty $
j'ai réussi à démo qu'elle était convergente et que l est pas loin (et en dessous) de $ \frac{\pi}{6}-1 $...

Faut peaufiner, mais je retravaillerai ca demain :mrgreen:

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