Exercices de MPSI

[lsjduejd]

Mais bon dans tous les cas :
4*1+0*2+0*3+0*4=4
0*1+2*2+0*3+0*4=4
2*1+1*2+0*3+0*4=4
1*1+0*2+1*3+0*4=4
0*1+0*2+0*3+1*4=4

Plus que 4 possibilités.

[mathophilie]

0*1+1*2+0*3+1*4+0*5+1*6+0*(7+8+9+10)=10
0*1+1*2+0*3+0*4+1*5+1*6+0*(7+8+9+10+11)=11

Ou alors j'ai pas compris et auquel cas faut que tu sois plus claire

Gosh, j'ai pas non plus trop compris ton exemple, mais j'ai GRANDEMENT compris mon erreur avec un autre contre exemple
Bon merci de ta réponse en tout cas

Sur ce, je vais me coucher... J'y réfléchirai demain. A+ !

[lsjduejd]

De toutes façons c'est HP la solution

[Siméon]

Un dénombrement faisable :

[Exercice 517.1] De combien de façons peut-on choisir $ k $ couples $ (x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_k) $ dans $ \{1,\dots,n\}^2 $, deux à deux distincts, de sorte qu'il existe une fonction réelle strictement croissante prenant en $ x_i $ la valeur $ y_i $ pour chaque $ i \in \{1,\dots, k\} $ ?

[Hachino]

Hachino: waoh j'ignorais totalement l'existence d'une formule pour les dérivées successives d'une composée, ça a pas l'air très commode à utiliser en tout cas

Tout comme la formule de Leibniz (qui n'est qu'une réécriture du binôme de Newton), elle est de nature combinatoire, quoiqu'un peu plus compliquée à comprendre (et nettement plus à écrire). Elle sert parfois aux gens qui ont besoin de faire des calculs (et de donner des majorations) sur des dérivées à tout ordre de fonction définies, disons, par une fonction intéressante, qui décrit l'évolution d'un quelconque système physique par exemple (le $ f $) composée par un "changement de variable" (le $ g $) pas trop chiant à manipuler.

[mathophilie]

Un dénombrement faisable :

De combien de façons peut-on choisir $ k $ couples $ (x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_k) $ dans $ \{1,\dots,n\}^2 $, deux à deux distincts, de sorte qu'il existe une fonction réelle strictement croissante prenant en $ x_i $ la valeur $ y_i $ pour chaque $ i \in \{1,\dots, k\} $ ?

SPOILER:

Le choix des $ x_k $ est indépendant des choix $ y_k $. Seul dépend la croissance stricte des $ y_k $, couplée à celle des $ x_k. $
Il y a $ \binom{n}{k} $ manières de choisir k $ x_k $ entre 1 et n, les $ x_k $ étant distincts et ordonnés.
De même, il y a $ \binom{n}{k} $ manières de choisir les $ y_k $.
D'où, en couplant les $ x_k $ aux $ y_k $, il vient $ \binom{n}{k}^2 $ choix possibles de k couples ?

Je suis pressée, je rédigerai de manière plus détaillée ce soir...

EDIT : Voilà, j'ai accompagné la réponse du raisonnement. Manque plus que ce soit correct

[wallissen]

Vous m'avez perdu

Si je comprends, tu devrais pouvoir comprendre aussi
EDIT : Visiblement je comprends pas donc euh...

Sinon, chers taupins, auriez-vous des exos sympas sur les complexes ?

Si ça t'intéresse, voici un problème de synthèse (pas que des complexes ...) qu'on a eu en devoir surveillé . Pas de difficulté particulière normalement, mais fallait bien rédiger ( et un peu long aussi pour seulement 10 points )

A. Soit $ a $ un nombre réel de l'intervalle $ [0, \pi] $

On considère la fonction numérique $ f_a $ définie par : $ f_a(x) = ln(x^2 - 2xcosa + 1 ) $

1) Etudier les variations de $ f_a $

2) Tracer la courbe $ \Psi_a $ pour $ a = \frac{\pi}{3} $ dans le plan muni d'un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $


B. Soit n un entier naturel non nul

1. a) Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ Z^{2n} - 1 =0 $. $ \mathbb{C} $ désignant l'ensemble des complexes.

b) Soit $ Z_k $ le nombre complexe de module 1 et d'argument $ \frac{k\pi}{n} $ avec $ k \in I = \left \{0, 1, 2, ..., 2n-1 \right \} $.

Soit $ k \in I - \left \{0, n \right \} $ et $ k' $ un entier tel que $ k + k' = 2n $

Développer l'expression: $ (Z - Z_k)(Z - Z_{k'}) $

c) On admettra que
$ \forall Z \in \mathbb{C} $; $ Z^{2n} - 1 = (Z - Z_0)(Z - Z_1)...(Z-Z_{2n-1}) $

En utilisant b), montrer que $ Z^{2n} - 1 = (Z^2 - 1)\prod_{k=1}^{n-1}(Z^2 - 2Zcos\frac{k\pi}{n} + 1) $

2) On considère la fonction $ S_n $ définie par:

$ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n-1}f_{\frac{k\pi}{n}}(x) $ pour tout $ x\in \mathbb{R} $ avec $ f_{\frac{k\pi}{n}}(x) = \ln(x^2 - 2xcos\frac{k\pi}{n} + 1) $

a) Montrer que $ S_n $ est définie et continue sur $ \mathbb{R} $ :

b) Déduire de B. 1) c) que si $ x^2 \neq 1 $ on a : $ S_n(x) = \ln( \frac{x^{2n}-1}{x^2 -1}) $

c) EN déduire alors $ S_n(1) $ et $ S_n(-1) $.


3) $ x $ étant un réel un réel fixe, différent de $ 1 $ et $ -1 $ . On considère la fonction $ g_x $ telle que :

$ g_x(t) = \ln(x^2 - 2xcost + 1) $ pour $ t \in [0, \pi] $

a) Vérifier que $ g_x $ est bien définie sur $ [0, \pi] $ et qu'elle admet une primitive définie sur $ [0, \pi] $ qui s'annule en 0

b) EN appliquant la méthode des rectangles à la fonction $ g_x $, exprimer $ \frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g_x(\frac{k\pi}{n}) $ en fonction de $ S_n(x) $.

c) En déduire la valeur de l'intégrale $ I(x) = \int_{0}^{\pi} \ln(x^2 - 2xcost + 1)dt $

[Syl20]

Vous m'avez perdu

Si je comprends, tu devrais pouvoir comprendre aussi
EDIT : Visiblement je comprends pas donc euh...

Sinon, chers taupins, auriez-vous des exos sympas sur les complexes ?

Si ça t'intéresse, voici un problème de synthèse (pas que des complexes ...) qu'on a eu en devoir surveillé . Pas de difficulté particulière normalement, mais fallait bien rédiger ( et un peu long aussi pour seulement 10 points )

A. Soit $ a $ un nombre réel de l'intervalle $ [0, \pi] $

On considère la fonction numérique $ f_a $ définie par : $ f_a(x) = ln(x^2 - 2xcosa + 1 ) $

1) Etudier les variations de $ f_a $

2) Tracer la courbe $ \Psi_a $ pour $ a = \frac{\pi}{3} $ dans le plan muni d'un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $


B. Soit n un entier naturel non nul

1. a) Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ Z^{2n} - 1 =0 $. $ \mathbb{C} $ désignant l'ensemble des complexes.

b) Soit $ Z_k $ le nombre complexe de module 1 et d'argument $ \frac{k\pi}{n} $ avec $ k \in I = \left \{0, 1, 2, ..., 2n-1 \right \} $.

Soit $ k \in I - \left \{0, n \right \} $ et $ k' $ un entier tel que $ k + k' = 2n $

Développer l'expression: $ (Z - Z_k)(Z - Z_{k'}) $

c) On admettra que
$ \forall Z \in \mathbb{C} $; $ Z^{2n} - 1 = (Z - Z_0)(Z - Z_1)...(Z-Z_{2n-1}) $

En utilisant b), montrer que $ Z^{2n} - 1 = (Z^2 - 1)\prod_{k=1}^{n-1}(Z^2 - 2Zcos\frac{k\pi}{n} + 1) $

2) On considère la fonction $ S_n $ définie par:

$ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n-1}f_{\frac{k\pi}{n}}(x) $ pour tout $ x\in \mathbb{R} $ avec $ f_{\frac{k\pi}{n}}(x) = \ln(x^2 - 2xcos\frac{k\pi}{n} + 1) $

a) Montrer que $ S_n $ est définie et continue sur $ \mathbb{R} $ :

b) Déduire de B. 1) c) que si $ x^2 \neq 1 $ on a : $ S_n(x) = \ln( \frac{x^{2n}-1}{x^2 -1}) $

c) EN déduire alors $ S_n(1) $ et $ S_n(-1) $.


3) $ x $ étant un réel un réel fixe, différent de $ 1 $ et $ -1 $ . On considère la fonction $ g_x $ telle que :

$ g_x(t) = \ln(x^2 - 2xcost + 1) $ pour $ t \in [0, \pi] $

a) Vérifier que $ g_x $ est bien définie sur $ [0, \pi] $ et qu'elle admet une primitive définie sur $ [0, \pi] $ qui s'annule en 0

b) EN appliquant la méthode des rectangles à la fonction $ g_x $, exprimer $ \frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g_x(\frac{k\pi}{n}) $ en fonction de $ S_n(x) $.

c) En déduire la valeur de l'intégrale $ I(x) = \int_{0}^{\pi} \ln(x^2 - 2xcost + 1)dt $

Merci wallissen ! Ya des fois, j'aimerais vivre au Sénégal (rip la term C)

[Luckyos]

Pour ceux qui, comme bibi, aiment le dénombrement :

Un facile :

On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $ (0;0) $ , cherche à atteindre un fromage, placé en $ (a;b) $ avec a et b dans N. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut.
Combien de chemins peut-elle emprunter ?

Ma réponse :

SPOILER:

La souris devra utiliser a déplacements vers la droite et b déplacements vers le haut. Chaque chemin sera donc de longueur (a+b). Il y a $ \binom{a+b}{a} $ configurations possibles pour la position des déplacements vers la droite lors d'un chemin. Pour chaque configuration, les déplacements vers le haut rempliront les positions inoccupées et la souris peut donc emprunter $ \binom{a+b}{a} $ chemins.

[mathophilie]

Pour ceux qui, comme bibi, aiment le dénombrement :

Un facile :

On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $ (0;0) $ , cherche à atteindre un fromage, placé en $ (a;b) $ avec a et b dans N. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut.
Combien de chemins peut-elle emprunter ?

Ma réponse :

SPOILER:

La souris devra utiliser a déplacements vers la droite et b déplacements vers le haut. Chaque chemin sera donc de longueur (a+b). Il y a $ \binom{a+b}{a} $ configurations possibles pour la position des déplacements vers la droite lors d'un chemin. Pour chaque configuration, les déplacements vers le haut rempliront les positions inoccupées et la souris peut donc emprunter $ \binom{a+b}{a} $ chemins.

C'est ça !
As-tu regardé le deuxième exercice que j'ai proposé ?