Les moyennes en maths ne sont pas terribles ^^ (enfin moins impressionnantes quand je les compare avec les notes que les terminales mettent ici pour leur dossier ). En plus avec un prof qui insiste beaucoup trop (à mon goût ) sur la rédaction.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
@Syl20..Faut voir les notes aussi
Les moyennes en maths ne sont pas terribles ^^ (enfin moins impressionnantes quand je les compare avec les notes que les terminales mettent ici pour leur dossier ). En plus avec un prof qui insiste beaucoup trop (à mon goût ) sur la rédaction.
Les moyennes en maths ne sont pas terribles ^^ (enfin moins impressionnantes quand je les compare avec les notes que les terminales mettent ici pour leur dossier ). En plus avec un prof qui insiste beaucoup trop (à mon goût ) sur la rédaction.
Dernière modification par wallissen le 26 mars 2016 12:09, modifié 2 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Un exo facile de dénombrement
Un autre (un peu moins facile ? )Dans un jeu de 32 cartes, combien y a t-il de façons de choisir 6 cartes, telles que l'on ait 3 noires, 3 cœurs et aucun as ?
Un autre (un peu moins facile ?)On appelle mot de longueur $ l $ tout succession de $ l $ lettres distinctes ou non prises dans l'ensemble $ E = \left \{ a, b, ..., y, z \right \} $ des 26 lettres de l'alphabet. Calculer
1) le nombre $ N_l $ des mots de longueur $ l $, puis le nombre $ N $ des mots de longueur au plus égale à $ l $;
2) mêmes questions, mais les lettres de chaque mot étant distinctes.
1) Soit $ n $ et $ p $ deux entiers naturels $ (p \leq n) $, montrer que l'on a :
$ \binom{p}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1} $
2) Soit $ n $ et $ r $ deux entiers naturels $ (1 \leq r \leq n $) . On forme tous les sous-ensembles à $ r $ éléments de l'ensemble $ \left \{ 1, 2, ..., n \right \} $ et l'on considère pour chacun de ces sous-ensembles, son plus petit élément.
On appelle $ f(n,r) $ la moyenne arithmétique de tous les membres ainsi obtenues.
Montrer que $ f(n, r) = \frac{n+1}{r+1} $
Dernière modification par wallissen le 26 mars 2016 12:05, modifié 3 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bonjour/bonne nuit tout le monde,
je débarque ici un peu par hasard (disons que je modélise ça comme ça). Je suis un peu surpris et content de tomber dans un fil plutôt dédié aux lycéens. J'y vois l'opportunité d'ouvrir un dialogue potentiellement intéressant pour moi et pour vous.
Je me permets de démarrer en proposant un approfondissement à une question posée récemment. La question que j'ajoute sous l'énoncé de mathophilie peut être vue comme la lointaine parente (19ème siècle) d'interrogations contemporaines très vivantes.
Etonnante à mes yeux la petite coïncidence thématique "comptage de chemins+partitions d'entiers" dans ces derniers messages écrits par des lycéens car certaines personnes font en effet dialoguer probabilités (marches aléatoires conditionnées) et algèbre (combinatoire algébrique en théorie des représentations) depuis quelques années. Ce qui est bien, je pense.
Un exemple de ce que ça peut produire :
$ J_1,J_2,J_3 $ sont trois candidats au Jeu de Type $ A $, un jeu télé qui cartonne chez les Immortels. Il est notoire que ces individus s'ennuient beaucoup et, de notre point de vue de simples mortels, il n'est pas évident de comprendre leur engouement pour ce jeu. A moins que, pour nous distraire en les observant s'amuser, nous nous mettions à nous poser des questions mathématiques.
Les joueurs partent tous avec un score nul. Un présentateur lance indéfiniment une roue partagée en trois secteurs angulaires numérotés $ 1,2,3 $. Le secteur $ 1 $ est strictement plus grand que le $ 2 $, qui est lui-même strictement plus grand que le $ 3 $. On note $ p_1,p_2,p_3 $ les probabilités de sortie des numéros : ces nombres sont associés selon la loi uniforme, autrement dit : il y a proportionnalité entre l'aire d'un secteur et la probabilité que la roue s'arrête dessus. A l'issue de chaque lancer, le joueur qui porte le numéro sur lequel la roue s'est arrêtée gagne un point tandis que les scores des autres restent inchangés.
Il n'est pas évident pour moi que la probabilité de l'événement
"Tout le long de ce jeu éternel, le score de $ J_1 $ est toujours supérieur ou égal à celui de $ J_2 $, qui reste lui-même à jamais supérieur ou égal à celui de $ J_3 $."
est $ (1-{p_2}/{p_1})(1-{p_3}/{p_1})(1-{p_3}/{p_2}) $.
Avec l'outil algébrique, le résultat analogue pour un plus grand nombre de joueur n'est pas plus difficile à démontrer. Le cas de deux joueurs se traite beaucoup plus élémentairement (en trois ligne) mais les arguments simples semblent difficiles à adapter à un plus grand nombre. On peut produire des résultats analogues pour des variantes du jeu.
Si ça intéresse des personnes de toucher à des maths d'aujourd'hui-maintenant à travers un dialogue simple et ouvert, je suis partant.
je débarque ici un peu par hasard (disons que je modélise ça comme ça). Je suis un peu surpris et content de tomber dans un fil plutôt dédié aux lycéens. J'y vois l'opportunité d'ouvrir un dialogue potentiellement intéressant pour moi et pour vous.
Je me permets de démarrer en proposant un approfondissement à une question posée récemment. La question que j'ajoute sous l'énoncé de mathophilie peut être vue comme la lointaine parente (19ème siècle) d'interrogations contemporaines très vivantes.
Si $ a,b $ sont tels que $ a\geq b $, combien de chemins restant intégralement dans l'ensemble $ x\geq y $ mènent de $ (0,0) $ à $ (a,b) $ ?mathophilie a écrit : Un facile :On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $ (0;0) $ , cherche à atteindre un fromage, placé en $ (a;b) $ avec a et b dans N. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut.
Combien de chemins peut-elle emprunter ?
Etonnante à mes yeux la petite coïncidence thématique "comptage de chemins+partitions d'entiers" dans ces derniers messages écrits par des lycéens car certaines personnes font en effet dialoguer probabilités (marches aléatoires conditionnées) et algèbre (combinatoire algébrique en théorie des représentations) depuis quelques années. Ce qui est bien, je pense.
Un exemple de ce que ça peut produire :
$ J_1,J_2,J_3 $ sont trois candidats au Jeu de Type $ A $, un jeu télé qui cartonne chez les Immortels. Il est notoire que ces individus s'ennuient beaucoup et, de notre point de vue de simples mortels, il n'est pas évident de comprendre leur engouement pour ce jeu. A moins que, pour nous distraire en les observant s'amuser, nous nous mettions à nous poser des questions mathématiques.
Les joueurs partent tous avec un score nul. Un présentateur lance indéfiniment une roue partagée en trois secteurs angulaires numérotés $ 1,2,3 $. Le secteur $ 1 $ est strictement plus grand que le $ 2 $, qui est lui-même strictement plus grand que le $ 3 $. On note $ p_1,p_2,p_3 $ les probabilités de sortie des numéros : ces nombres sont associés selon la loi uniforme, autrement dit : il y a proportionnalité entre l'aire d'un secteur et la probabilité que la roue s'arrête dessus. A l'issue de chaque lancer, le joueur qui porte le numéro sur lequel la roue s'est arrêtée gagne un point tandis que les scores des autres restent inchangés.
Il n'est pas évident pour moi que la probabilité de l'événement
"Tout le long de ce jeu éternel, le score de $ J_1 $ est toujours supérieur ou égal à celui de $ J_2 $, qui reste lui-même à jamais supérieur ou égal à celui de $ J_3 $."
est $ (1-{p_2}/{p_1})(1-{p_3}/{p_1})(1-{p_3}/{p_2}) $.
Avec l'outil algébrique, le résultat analogue pour un plus grand nombre de joueur n'est pas plus difficile à démontrer. Le cas de deux joueurs se traite beaucoup plus élémentairement (en trois ligne) mais les arguments simples semblent difficiles à adapter à un plus grand nombre. On peut produire des résultats analogues pour des variantes du jeu.
Si ça intéresse des personnes de toucher à des maths d'aujourd'hui-maintenant à travers un dialogue simple et ouvert, je suis partant.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Une proposition :wallissen a écrit :Un exo facile de dénombrement
Dans un jeu de 32 cartes, combien y a t-il de façons de choisir 6 cartes, telles que l'on ait 3 noires, 3 cœurs et aucun as ?
SPOILER:
Une proposition :Un autre (un peu moins facile ? )
On appelle mot de longueur $ l $ tout succession de $ l $ lettres distinctes ou non prises dans l'ensemble $ E = \left \{ a, b, ..., y, z \right \} $ des 26 lettres de l'alphabet. Calculer
1) le nombre $ N_l $ des mots de longueur $ l $, puis le nombre $ N $ des mots de longueur au plus égale à $ l $;
2) mêmes questions, mais les lettres de chaque mot étant distinctes.
SPOILER:
Dernière modification par mathophilie le 26 mars 2016 17:31, modifié 3 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bienvenue kakille et merci pour l'éclairage.
mathophilie qui ouvre un champ de recherche
En route pour les travaux et vers la médaille Fields 
mathophilie qui ouvre un champ de recherche
En route pour les travaux et vers la médaille Fields
Dernière modification par wallissen le 26 mars 2016 12:24, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
mathophilie a écrit :Une proposition :wallissen a écrit :Un exo facile de dénombrement
Dans un jeu de 32 cartes, combien y a t-il de façons de choisir 6 cartes, telles que l'on ait 3 noires, 3 cœurs et aucun as ?
SPOILER:Une proposition :Un autre (un peu moins facile ? )
On appelle mot de longueur $ l $ tout succession de $ l $ lettres distinctes ou non prises dans l'ensemble $ E = \left \{ a, b, ..., y, z \right \} $ des 26 lettres de l'alphabet. Calculer
1) le nombre $ N_l $ des mots de longueur $ l $, puis le nombre $ N $ des mots de longueur au plus égale à $ l $;
2) mêmes questions, mais les lettres de chaque mot étant distinctes.
SPOILER:
Pour le premier ça me semble correcte , mais en fait sur une copie doit on mener toujours les calcul jusqu'au bout ou on peut présenter les résultats sous forme binomiale ?
Pour le deuxième , je comprends pas pourquoi tu dis différent de 1 . Normalement on peut avoir des mots à une lettre , non ? En plus quand tu dis la somme l premières puissances de 26 , normale le dernier terme c'est $ 26^l $, du coup je comprends pas comment t'as fait pour avoir $ 26^{l+2} $ dans le résultat final . (Normalement tu devrais avoir au plus $ 26^{l+1} $ )
En fait il y avait une coquille sur le 3ème exo . je viens de la rectifier.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
En prenant tes remarques dans l'ordre :wallissen a écrit : Pour le premier ça me semble correcte , mais en fait sur une copie doit on mener toujours les calcul jusqu'au bout ou on peut présenter les résultats sous forme binomiale ?
Pour le deuxième , je comprends pas pourquoi tu dis différent de 1 . Normalement on peut avoir des mots à une lettre , non ? En plus quand tu dis la somme l premières puissances de 26 , normale le dernier terme c'est $ 26^l $, du coup je comprends pas comment t'as fait pour avoir $ 26^{l+2} $ dans le résultat final . (Normalement tu devrais avoir au plus $ 26^{l+1} $ )
En fait il y avait une coquille sur le 3ème exo . je viens de la rectifier.
- Aucune idée, j'avais surtout la flemme de le calculer
Ce qui me semblait intéressant c'était plus la structure du raisonnement que le résultat. Je trouve 12740 avec la calculatrice.- C'est parce que j'ai pas tout détailler dans les étapes, je pensais pas que ca serait nécessaire. Je dis que ce sont les premières puissances de 26 distincts de 1 parce que 1 c'est $ 26^0 $, or un mot contient au moins une lettre donc l est non nul.
Ensuite pour la formule, j'ai juste fait monter le premier terme ($ 26^1 $) au numérateur. Si tu veux : $ 26 + 26^2 + ... + 26^l = 26*\frac{26^{l}-1}{25} = \frac{26^{l+1}-26}{25} $ (edit)mathophilie qui ouvre un champ de recherche
Y'a pas que de l'eau dans les lycées sénégalais !
Dernière modification par mathophilie le 26 mars 2016 12:56, modifié 2 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Oui je sais c'est la flemme pour le calcul...Je me posais la question surtout pour moi. Je mène les calculs toujours jusqu'au bout et je me disais si je ne ferais mieux d'économiser ce temps pour autre chose
Oups désolé pour la puissance , t'as effectivement raison.. J'ai confondu exposant et puissance.. Dans ma tête la puissance égale à 1 c'est $ 26^1 $
N'empêche Il n' ya pas un problème avec le resultat final ? Si je fait la somme des termes géométriques, j'arrive pas à cette puissance
Bon c'est des détails secondaires à coté du raisonnement, on est d'accord
Oups désolé pour la puissance , t'as effectivement raison.. J'ai confondu exposant et puissance.. Dans ma tête la puissance égale à 1 c'est $ 26^1 $
N'empêche Il n' ya pas un problème avec le resultat final ? Si je fait la somme des termes géométriques, j'arrive pas à cette puissance
Bon c'est des détails secondaires à coté du raisonnement, on est d'accord
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Gosh tu as raison pour le l+2, j'ai mal factorisé, c'est bien l+1 au numérateur...wallissen a écrit :Oui je sais c'est la flemme pour le calcul...Je me posais la question surtout pour moi. Je mène les calculs toujours jusqu'au bout et je me disais si je ne ferais mieux d'économiser ce temps pour autre chose
Oups désolé pour la puissance , t'as effectivement raison.. J'ai confondu exposant et puissance.. Dans ma tête la puissance égale à 1 c'est $ 26^1 $
N'empêche Il n' ya pas un problème avec le resultat final ? Si je fait la somme des termes géométriques, j'arrive pas à cette puissance
Bon c'est des détails secondaires à coté du raisonnement, on est d'accord
J'édite, merci !
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Cela peut presque aider ceux qui bloquent sur l'exo de Mathophilie ( voir les premières questions du sujet ENS maths 1 MPI 2009 ou 2007 ), mais il y a une démonstration beaucoup plus belle.1) Soit $ n $ et $ p $ deux entiers naturels $ (p \leq n) $, montrer que l'on a :
$ \binom{p}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1} $
Ma contribution :
- a)Montrer qu'il existe $ \displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q} $
b) Montrer qu'il en existe une infinité.
c) Montrer que si $ z $ est un réel tel que $ \displaystyle z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q} $ alors $ \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} $