Exercices de MPSI

[kakille]

Contraste saisissant

@ladmzjkf : C'est dingue comme tes démonstrations en analyse sont élégantes

@ladmzjkf : La tentative a l'air correcte de loin, mais je n'ai pas eu le courage de la décrypter en détails car elle est très mal rédigée (selon les standards mathématiques). Le minimum est de n'écrire que des phrases syntaxiquement correctes, en français, de ne pas utiliser les symboles mathématiques comme abréviations, et de mettre en avant l'argumentation logique.

[darklol]

En effet la 1 je l'aurais montrée comme ça :

SPOILER:

1. On montre que $ e^{u(x)} $ a les mêmes variations que u
2. Vu que f est le produit de deux fonctions aux mêmes variations, f est croissante

Pas compris. Ça m'a pas l'air bon.

Desole je suis sur port.

Moi je fais comme ca : f (x) > 0 ok. Maintenant la fonction x-> x.exp (x) est croissante sur R+.


Si x <= y.
f (x)exp f (x) = x <= y = f (y)exp (f (y))

D'où f (x) <= f (y)
Si cest pas encore clair utilisez la contraposee : si x < y et f (x) > f (y) alors...

Voilà ça c'est une bonne preuve.

[kakille]

[Exo 524.1 ]

Soit $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} $ telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}_+ $
Montrer que :

(a) f est croissante

(b) $ lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty $

(c) $ \frac{f(x)}{\ln x} $ tend vers 1 quand x tend vers $ +\infty $

Question subsidiaire : une telle fonction existe-t-elle ? On pourra répondre en décrivant un "procédé de fabrication".

[kakille]

Y'a un procédé de fabrication, mais faut s'assurer qu'une certaine équation admet bel et bien une solution unique à chaque fois

Mais c'est un bien joli exo (un peu dur quand même pour des Tle, même si le niveau ici est plutôt bon par rapport à l'an dernier .).

Je vois ça comme ça : dans le cours de TS, on nous a présenté la fonction exp comme l'unique fonction non nulle dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que bla bla et, à partir de ses propriétés, on a fabriqué la fonction ln qui défait le travail. On déduit les propriétés de la nouvelle à partir de celles de l'ancienne et beaucoup sont évidentes si on a en tête le lien entre les deux représentations graphiques.

L'autre paire normalement connue depuis un moment, c'est $ (x\mapsto x^2,x\mapsto \sqrt{x}) $.

Ici, c'est pareil mais on remplace exp ou la fonction carré par $ x\mapsto x\exp (x) $. Il s'agit donc essentiellement d'un boulot d'adaptation pour vérifier si on a compris le premier.

C'est donc une question très près du cours.

On gagnerait beaucoup à faire des parallèles entre des choses trop souvent présentées de manière éparse :
$ (x\mapsto x^2,x\mapsto \sqrt{x})\sim(x\mapsto\exp x,x\mapsto\ln{x}) $

[kakille]

yep : non seulement c'est intéressant, mais en plus, sur le plan pratique pour les pas fans de science, c'est super utile niveau mémorisation.

Sans vouloir tirer sur l'ambulance ou entrer en polémique, je connais peu de profs dans le secondaire qui font cet effort, alors qu'il est rentable. Une hypothèse explicative parmi d'autres pour ceux-là : ils n'ont pas assez réfléchi à la question et/ou ils sont en pilotage automatique depuis un moment

[Oka]

@kakille : vraiment ? perso mes prof de math ont parlé de fonction reciproque en premiere et en terminale sur les deux exemple que tu cite (enfin que en terminale pour la fonction exp), enfin sans formaliser je me rappelle pas avoir entendu le vocabulaire bijective injective surjective mais plutot comme tu l'as expliqué : on revient en arriere / on fait le chemin inverse (en parlant d'inverse je me souvient meme de mon prof de premiere qui disait que la fonction inverse est sa propre reciproque, et que en general il faut pas confondre inverse d'une fonction et reciproque d'une fonction). j'étais pas dans un lycée particulierement bon non plus
Pour ton hypothese, t'es en train de dire que des profs de math n'ont pas compris le concept de fonction reciproque ?!

@corderaide : j'imagine que t'exagere un peu en disant ça, mais quand meme on fait encore des science au lycée ! meme si on a en a sans doute fait plus avant

[kakille]

Non : je dis simplement que, au moment d'introduire ln, peu font le parallèle avec la situation déjà rencontrée (carré, racine). Ce n'est pas le seul exemple que j'ai en tête. De manière plus globale, je pense qu'il y a tout intérêt à essayer de rationaliser plutôt que d'émietter : trop de pseudo-"chapitres" et certains sont découpés en 3...

[mathophilie]

Hello,

Un facile :

On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $ (0;0) $ , cherche à atteindre un fromage, placé en $ (a;b) $ avec a et b dans N. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut.
Combien de chemins peut-elle emprunter ?

Si $ a,b $ sont tels que $ a\geq b $, combien de chemins restant intégralement dans l'ensemble $ x\geq y $ mènent de $ (0,0) $ à $ (a,b) $ ?

J'aimerais savoir si ce résultat :

SPOILER:

$ \binom{x+y}{y} - \binom{x+y}{y-1} $

Est correct parce que je doute d'un truc dans ma méthode fort peu rigoureuse.

@ladmzjkf : C'est dingue comme tes démonstrations en analyse sont élégantes

merci mathophilie , tu m'as fait rougir , faut dire aussi que je pèche violemment au niveau de la rédaction.

@kakille : vraiment ? perso mes prof de math ont parlé de fonction reciproque en premiere et en terminale sur les deux exemple que tu cite (enfin que en terminale pour la fonction exp), enfin sans formaliser je me rappelle pas avoir entendu le vocabulaire bijective injective surjective mais plutot comme tu l'as expliqué : on revient en arriere / on fait le chemin inverse (en parlant d'inverse je me souvient meme de mon prof de premiere qui disait que la fonction inverse est sa propre reciproque, et que en general il faut pas confondre inverse d'une fonction et reciproque d'une fonction).

De même pour moi.

Une jolie limite :

On pose $ S_n = \sum_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n}) $
- Calculer $ S_n $. Indice :

SPOILER:

$ S_n = \frac{1}{tan(\frac{\pi}{2n})} $. A démontrer .

- En déduire la limite de $ \frac{S_n}{n} $.

Pour ceux que cela intéresse, cette limite est égale à la probabilité qu'une aiguille lancée au-dessus d'un parquet constitué de planches parallèles entre elles dont la largeur est égale à la longueur de l'aiguille tombe à cheval sur au moins une rainure de ce parquet !

[kakille]

J'ai

SPOILER:

$ {{a+b}\choose{a}}-{{a+b}\choose{b-1}} $

[kakille]

De même pour moi.

cf. plus haut : Oka m'a mal lu.