Exercices de MPSI

[wallissen]

Ah d'accord ..

Voici un autre

Soit $ P_n $ la fonction définie, pour $ n \geq 1 $, par :

$ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ...+ x - 1 $ avec $ x \in \mathbb{R^+} $

a) Montrer que $ \exists ! \varepsilon_n > 0, P_n(\varepsilon_n) = 0 $ (il existe un unique $ \varepsilon_n $ )

b) Montrer que la suite $ (\varepsilon_n)_{n\geq 1} $ est décroissante et convergente.

c) Calculer $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \varepsilon_n $

[wallissen]

f est définie sur [0, 1], continue en 0. De plus, on suppose que $ \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(2x) - f(x)}{x} $ est un réel l. (ça rapelle quelque chose ça )

Montrer que f est dérivable en 0 et que $ f'(0) = l $

[mathophilie]

Ah d'accord ..

Voici un autre

Soit $ P_n $ la fonction définie, pour $ n \geq 1 $, par :

$ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ...+ x - 1 $ avec $ x \in \mathbb{R^+} $

a) Montrer que $ \exists ! \varepsilon_n > 0, P_n(\varepsilon_n) = 0 $ (il existe un unique $ \varepsilon_n $ )

b) Montrer que la suite $ (\varepsilon_n)_{n\geq 1} $ est décroissante et convergente.

c) Calculer $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \varepsilon_n $

SPOILER:

1/ On sait que $ P_n(x) $ est continue sur R+ comme somme de fonctions usuelles continues sur R+. De plus, $ P_n(x) $ est strictement croissante sur R+ comme somme de fonctions strictement croissantes sur cet intervalle. Par ailleurs, $ P_n(0) = -1 $ pour tout n non nul et $ \lim_{x \to +\infty}P_n(x) = +\infty $. D'où le résultat en appliquant le (edit) théorème de la bijection.

2/ $ P_n(\epsilon_{n+1}) = P_{n+1}(\epsilon_{n+1}) - \epsilon_{n+1}^{n+1} < 0 $ pour tout n non nul.
D'où $ P_n(\epsilon_{n+1})< P_n({\epsilon_n}) $
D'où, comme $ P_n $ strictement croissante sur R+, $ \epsilon_{n+1} < \epsilon_{n} $ pour tout n.

De plus $ P_n(0) = -1 $ et $ P_n(1) \ge 0 $ pour tout n non nul.
Donc $ 0<\epsilon_n<1 $ pour tout n non nul.

3/ (Edit) Désolée... : On a $ \epsilon^{n+1} +... + \epsilon - 1=0 $
D'où $ \epsilon^2*\frac{\epsilon^{n+1}-1}{\epsilon-1} = 1- \epsilon $
Donc en faisant tendre n vers + l'infini, comme $ 0<\epsilon\le 1 $ : $ -l^2\frac{1}{l-1} = 1-l $
Donc $ -l^2 = -l^2 + 2l - 1 $
D'où $ l=\frac{1}{2} $

[darklol]

Aïe grave erreur dans ta réponse à la question 3!

[Charo]

On recherche l'aire sous la courbe C dont les points ont pour coordonnées $ (x;\sqrt{(x-a)(b-x)) $
$ y=\sqrt{(x-a)(b-x) $
donc $ y^{2}=\left | x-a \right |\left | b-x \right | $
Comme $ (x\geq a)\cap (x\leq b) $.
On a $ y^2=(x-a)(b-x) $

Juste pourquoi écrire ça ? En plus l'avant dernière ligne ne veut pas dire grand chose.

[wallissen]

Pour mathophilie
Oui il me semble que tu confonds des suites différentes dans la question 3)

Concernant la question 1) je dis peut être des bêtises, mais il me semble c'est plutôt le théorème de la bijection qui assure l'unicité et l'existence à la fois ( Le TVI assure l'existence mais pas l'unicité ) Mais tu as déjà vérifié toutes les hypothèses du théorème de la bijection.

[mathophilie]

Aïe grave erreur dans ta réponse à la question 3!

...


@wallissen : oui désolée, bijection !

[Mykadeau]

Charo, enfaîte j'essaie de justifier tout ce que je fait(on me reproche souvent le contraire), je devrais élaguer?
Vous appelez ça bijection? Nous dans le cours c'est juste "corollaire du T.V.I".

[wallissen]

Oui dans mon cours sur les dérivés c'était théorème de la bijection, ou caractérisation d'une fonction bijective ..vu que son rôle est avant tout de montrer qu'une fonction qui vérifie ces propriétés est bijective.
Après le fait que ce soit bijective justifie l'unicité.

[Mykadeau]

Pour la c)

SPOILER:

$ \lim_{n\rightarrow \infty}(P_n(E_n))=0 $
soit $ \lim_{n\rightarrow \infty}(\sum_{1}^{n}(E_n^{k}))=1 $
or $ \lim_{n\rightarrow \infty}(E_n)=l $
$ \lim_{n\rightarrow \infty}(\sum_{1}^{n}(l^{k}))=1 $
$ \lim_{x\rightarrow \infty}(l(\frac{1-l^{n}}{1-l}))=1 $
$ \frac{l}{1-l}=1 $ soit $ l=\frac{1}{2} $