Exercices de MPSI

[wallissen]

Je propose un exo

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle bornée, telle que quelque soit $ n >0, 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $

Montrer que $ lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0 $


Pour simplifier on peut poser $ v_n = u_{n+1} - u_n $ et étudier la suite $ (v_n) $

[mathophilie]

Kakile, c'est drole j'ai déjà eu cette même discussion avec Magnéthorax il y a quelques temps.
Je préfère évidemment utiliser quelque chose justifiée et que j'ai comprise. Mais pour les dérivés c'est un peu spécial . C'est quand même parfois fastidieux de se servir de la formule classique de variation. C'est pourquoi je dis que ça facilite la vie. Evidémment la relation entre dérivé et sens de variation est parachutée en cours de Première sans beaucoup d'explication, mais localement au voisinage du point ( et non sur tout l'intervalle ) on peut voir intuitivement pourquoi ça marche .

J'a réfléchi et il est possible que kakille soit Magnéthorax bis

[wallissen]

En tout cas, Il a le même style de bienveillance un peu particulier

[wallissen]

Ah ben oui c'est pas ça la limite et non je ne sais pas ou vous allez piocher vos exos d'habitudes

SPOILER:

$ \frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})}=cos(\frac{\pi}{2n})\frac{1}{nsin(\frac{\pi}{2n})}=\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi}{2n}}{sin\frac{\pi}{2n}}cos(\frac{\pi}{2n}) $
Or $ \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n}=0 $ et $ \lim_{N \to 0}(\frac{N}{sin(N)})=1 $, $ \lim_{N \to 0}(cos(N))=1 $
On en déduit $ \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})})=\frac{2}{\pi} $

Les miens je les tires pour la plupart des bouquins de lycée un peu vieux....

[JeanN]

En tout cas, Il a le même style de bienveillance un peu particulier

Et le départ de l'un coïncide avec l'arrivée de l'autre...

[Mykadeau]

Du temps du bac C?

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle bornée, telle que quelque soit $ n >0, 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $
Montrer que $ lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0 $
Pour simplifier on peut poser $ v_n = u_{n+1} - u_n $et étudier la suite $ (v_n) $

Une proposition:

SPOILER:

$ 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $ équivaut à $ u_n-u_{n-1}\le u_{n+1}-u_n $ soit en posant $ v_n = u_{n+1} - u_n $ on en déduit $ v_{n-1} \le v_n $
Donc la suite v est croissante. Comme v est une différence de suites bornés, v est borné. Donc v converge.
Si v converge vers $ l < 0 $ ou alors quelquesoit $ \varepsilon $ , à partir d'un certain rang k, pour $ i>k $ on a $ l-\varepsilon<v_i<l $ par croissance de v. Comme cette égalité est vrai pour une infinité de terme, on a $ \lim_{n \to \infty}(\sum_{k}^{n}v_k)\leq \lim_{n \to \infty} nl $
Soit une fois simplifié $ \lim_{n \to \infty}u_{n+1}\leq (\lim_{n \to \infty} nl)+u_k $ avec $ u_k $ une constante, mais la suite u est borné donc c'est absurde
On en déduit l n'est pas négatif.
On raisonne de la même manière pour l>0, finalement l=0.

[mathophilie]

Je propose un exo

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle bornée, telle que quelque soit $ n >0, 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $

Montrer que $ lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0 $


Pour simplifier on peut poser $ v_n = u_{n+1} - u_n $ et étudier la suite $ (v_n) $

Du temps du bac C?

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle bornée, telle que quelque soit $ n >0, 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $
Montrer que $ lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0 $
Pour simplifier on peut poser $ v_n = u_{n+1} - u_n $et étudier la suite $ (v_n) $

Une proposition:

SPOILER:

$ 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1} $ équivaut à $ u_n-u_{n-1}\le u_{n+1}-u_n $ soit en posant $ v_n = u_{n+1} - u_n $ on en déduit $ v_{n-1} \le v_n $
Donc la suite v est croissante. Comme v est une différence de suites bornés, v est borné. Donc v converge.
Si v converge vers $ l < 0 $ ou alors quelquesoit $ \varepsilon $ , à partir d'un certain rang k, pour $ i>k $ on a $ l-\varepsilon<v_i<l $ par croissance de v. Comme cette égalité est vrai pour une infinité de terme, on a $ \lim_{n \to \infty}(\sum_{k}^{n}v_k)\leq \lim_{n \to \infty} nl $
Soit une fois simplifié $ \lim_{n \to \infty}u_{n+1}\leq (\lim_{n \to \infty} nl)+u_k $ avec $ u_k $ une constante, mais la suite u est borné donc c'est absurde
On en déduit l n'est pas négatif.
On raisonne de la même manière pour l>0, finalement l=0.

Peut-être plus rapide que la distinction des cas pour la limite :

SPOILER:

On a par équivalence $ \forall n \in N*, u_n-u_{n-1}\le u_{n+1}-u_n $, d'où $ v_n \le v_{n+1} $. Donc $ (v_n) $ croissante sur N. Donc soit $ v_n < 0 $ pour tout n de N*, soit $ v_n > 0 $ pour tout n de N*, soit $ \exists p \in N $ tel que $ \forall n <p, v_n <0 $ et $ \forall n>p, v_n >0 $. Dans tous les cas, $ (u_n) $ est monotone à partir d'un certain rang. De plus $ (u_n) $ est bornée. D'où $ u_n $ convergente, d'où $ lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0 $

[darklol]

Ceci dit jamais je n'imaginerais Magnethorax utiliser le mot "saucisse" (ou alors c'est une très bonne couverture).

[wallissen]

En tout cas, Il a le même style de bienveillance un peu particulier

Et le départ de l'un coïncide avec l'arrivée de l'autre...

Ah oui en plus ... mais Magnéthorax avait quand même un vocabulaire un peu plus châtié comme le remarque darklol..

[wallissen]

@Mykadeau Oui un peu..

Mais les exos que j'ai proposé sur ces dernières pages vont un peu plus loin (pour préparer les études en prépas notamment)