Exercices de MPSI

[wallissen]

PAr contre un petit truc qu'on a oublié: il faut définir $f$ comme tel : f(x)=sin(x^2)/x pour tout x de R, et $f(0)=0$ pour avoir ce qu'on cherche, c-à-d dérivable de dérivée continue

C'est nécessaire si on cherche juste une limite ? (en + l'infini de surcroit )

[Syl20]

PAr contre un petit truc qu'on a oublié: il faut définir $f$ comme tel : f(x)=sin(x^2)/x pour tout x de R, et $f(0)=0$ pour avoir ce qu'on cherche, c-à-d dérivable de dérivée continue

C'est nécessaire si on cherche juste une limite ? (en + l'infini de surcroit )

Oui, c'est une fonction qui est demandée par l'énoncé .

[ladmzjkf]

PAr contre un petit truc qu'on a oublié: il faut définir $f$ comme tel : f(x)=sin(x^2)/x pour tout x de R, et $f(0)=0$ pour avoir ce qu'on cherche, c-à-d dérivable de dérivée continue

C'est nécessaire si on cherche juste une limite ? (en + l'infini de surcroit )

Pour moi, non juste poser la fonction et vérifier les limites en $ +\infty $ sufirait. Mais c'était juste pour répondre à la question correctement

[symétrie]

OK, c'est essentiellement ça, aux problèmes soulevés par ladmzjkf près.

Un autre :

Exercice 548.0 : soient $ a<b $ deux réels et $ f : [a, b] \to \R $ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que $ f(a) = f(b) = 0 $. Soit $ M \geq 0 $ un réel. On suppose que pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ |f'(x)| \leq M $. Montrer que $ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $.

[wallissen]

Un exo

$ I = [a,b] $ , $ a < b $

1) f est continue sut I , dérivable en a et en b, avec
$ f'(b) < 0 < f'(a) $

Montrer que f atteint son maximum en un point de $ ]a,b[ $.
2) $ g $ est dérivable sur $ [a; b] $, avec g'(a) < g'(b). Montrer que $ g' $ prend toutes les valeurs de $ [g'(a), g'(b)] $

On rapelle que si f est continue sur le segment [a, b], l'image de $ [a, b] $ par f est un segment $ [\alpha, \beta] $

SPOILER:

Supposons que le maximum sur I de la fonction f soit atteint en a : $ \forall x\in I-{a}, f(x)\leq f(a) \Rightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0 $. Or, $ f'(a)=lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $. Toutefois, la limite à droite de l'expression est négative, alors même que f'(a)>0. Il y a donc contradiction : le maximum de f n'est donc pas atteint en a.
On raisonne de manière analogue en b.
Comme l'image de I par f est un segment, f admet bien un maximum sur [a,b]. De plus, ce maximum n'est atteint ni en a, ni en b.
f atteint donc son maximum sur un point de ]a,b[
2) g est dérivable et continue sur I, sa dérivée g' est donc elle aussi continue sur I. Donc, d'après le TVI, $ g'(a)\leg g'(a), g'(b)[ $ admet au moins une solution dans I

6 pages en 1 journée ?? C'est long à lire...

Je me suis dit la même chose

Astuce pour la question 2.

SPOILER:

Pour la question 2 , le but c'est d'arriver à prouver que pour un c quelconque appartenant à $ ]g'(a); g'(b)[ $ il existe $ x_0 \in ]a, b[ $ tel que $ g'(x_0 ) = c $ (ce qui fait que g' prendra toutes les valeurs quelconques possibles sur cette intervalle )
On avait fait un truc similaire dans le topic lycée pour prouver l'existence d'un point fixe avec le TVI...l'indication c'est d'introduire une fonction auxiliaire $ u(x) = cx - g(x) $ qui est continue et dérivable et qui va te permettre de ramener cette question à la question 1

Edit erreur

[wallissen]

ladmzjkf est entrain de rédiger une solution

[mathophilie]

Exo 3 : Soit $ (u_n) $ une suite d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty. $

Il me parait étonnamment abordable, et c'est toujours dans ces cas là que je me fais tacler (surtout sur la rigueur... ^^)

SPOILER:

On considère un intervalle [0;M] où M un entier naturel. L'intervalle [0;M] contient un nombre fini d'entiers naturels, donc (u_n) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs dans cet intervalle, puisque ses termes sont distincts deux à deux. En notant q le rang tel que l'ensemble $ E=(u_0;u_1;...;u_q) $ décrive l'intervalle [0;M] (cad prenne toutes les valeurs de cet intervalle), on en déduit que $ \forall n >q, u_n > M $. En choisissant M aussi grand que l'on veut, on en déduit que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty. $

[ladmzjkf]

Exo 3 : Soit $ (u_n) $ une suite d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty. $

Il me parait étonnamment abordable, et c'est toujours dans ces cas là que je me fais tacler (surtout sur la rigueur... ^^)

SPOILER:

On suppose qu'à un rang p, on a $ \forall n>p, u_n \le M $ avec M un entier naturel. L'intervalle [0;M] contient un nombre fini d'entiers naturels, donc (u_n) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs dans cet intervalle, puisque ses termes sont distincts deux à deux. Elle va donc finir par "sortir" de cet intervalle, donc en notant q le rang tel que l'ensemble E=(u_0;u_1;...;u_q) décrive l'intervalle [0;M] (cad prenne toutes les valeurs de cet intervalle), on en déduit que $ \forall n >q, u_n > M $. En choisissant M aussi grand que l'on veut, on en que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty. $

On peut aussi le résoudre en utlisant l'injectivité, c'est la même chose en fait mais en moins de mots ... wallissen vas-y !

[wallissen]

Ton pseudo est en italique du coup je pensais que t'étais entrain de rédiger

Au fait le dernier exo d'analyse que j'ai posté consiste à montrer le théorème de Darboux (qui est une extension du TVI aux fonctions non continues )

[ladmzjkf]

Ton pseudo est en italique du coup je pensais que t'étais entrain de rédiger

Au fait le dernier exo d'analyse que j'ai posté consiste à montrer le théorème de Darboux (qui est une extension du TVI aux fonctions non continues )

Si je me rappelle bien tu l'avais déjà posté, je me trompe ? Tu avais même caché son nom en écrivant "Théorème de D..."