Exercices de MPSI

[symétrie]

Je crois bien que c'est possible sans HP. Edit : en fait j'ai oublié l'hypothèse super importante.
Re-édit : voilà c'est corrigé, désolé !

Donc en fait il faut supposer $ f(a) = f(b) = 0 $.

[ladmzjkf]

@symétrie, je te le dis maintenant parce qu'après tu ne vas pas avoir le temps pour ça: n'aurais-tu pas un exo d'analyse réelle du genre à me faire sécher violemment (au moins jusqu’à ce que tu finisses les écrits )
Et bonne chance pour les concours en passant

[symétrie]

Niveau TS ou niveau un peu plus ? Vu qu'apparemment tu as avancé le programme.
Et merci.

[wallissen]

Je crois bien que c'est possible sans HP. Edit : en fait j'ai oublié l'hypothèse super importante.
Re-édit : voilà c'est corrigé, désolé !

Donc en fait il faut supposer $ f(a) = f(b) = 0 $.

Ouf Je me suis torturé les méninges pendant 15 minutes ... Je sais qu'il y a une erreur dans ce que j'ai écrit, mais je me suis dit qu'il y a quelque chose qui manque

Bon j'essaie de reprendre l'exo ( ça m'apprendra aussi à ne pas rédiger ce que je fais )

[ladmzjkf]

Niveau TS ou niveau un peu plus ? Vu qu'apparemment tu as avancé le programme.
Et merci.

Merci à toi
Un peu les deux, par contre je suis pas trop en avance, je dirais que je maîtrise les Chapitres: suites, continuité et dérivabilité (intégrales et séries pas vraiment)

[symétrie]

Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

Programme de sup maintenant, du coup je mets en spoiler parce que ça a pas trop sa place ici :

SPOILER:

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ de classe $ \mathrm{C}^{\infty} $ telle que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, il existe $ n \in \mathbb{N} $ tel que $ f^{(n)}(x) = 0 $. Montrer que $ f $ est polynomiale.

Les deux sont vraiment difficiles et assez ouverts, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.

[wallissen]

Au fait dans l'exo précédent symétrie , le 2 au dénominateur c'est inclus dans le carré ?

[Syl20]

OK, c'est essentiellement ça, aux problèmes soulevés par ladmzjkf près.

Un autre :

Exercice 548.0 : soient $ a<b $ deux réels et $ f : [a, b] \to \R $ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que $ f(a) = f(b) = 0 $. Soit $ M \geq 0 $ un réel. On suppose que pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ |f'(x)| \leq M $. Montrer que $ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $.

Graphiquement, c'est assez intuitif.. Après, comment le rédiger ?...

[symétrie]

wallissen : oui.
Syl20 : bravo si tu as trouvé pourquoi c'était évident géométriquement ! Tu as fait l'essentiel du travail. Après, le reste c'est des trucs qui sont peut-être pas évidents pour un TS, mais qui le deviendront sans problème en prépa. Si cet exercice était posé à l'oral ou en colle, je pense que le dessin suffirait quasiment.

[ladmzjkf]

Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

Programme de sup maintenant, du coup je mets en spoiler parce que ça a pas trop sa place ici :

SPOILER:

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ de classe $ \mathrm{C}^{\infty} $ telle que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, il existe $ n \in \mathbb{N} $ tel que $ f^{(n)}(x) = 0 $. Montrer que $ f $ est polynomiale.

Les deux sont vraiment difficiles et assez ouverts, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.

Merci pour ces exos.

Symétrie, une petite question: comment conseillerais-tu de lire l'algèbre, lire le cours sous un angle plus géométrique ou tout simplement lire le cours par exemple de tout-en-un ?
J'ai "Linear Algebra through Geometry"-Banchoff & Werner, dans tout le livre le traite l'algèbre en rapport avec la géométrie