Exercices de MPSI

[spemaths]

Pauwl, petite bourde

T'as écrit l = l mais après 2l = 0

[Siméon]

SPOILER:

$ u_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^2}) $
$ u_n=\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \frac{k^2-1}{k^2} $
et comme $ k>1 $, $ \frac{k^2-1}{k^2}>0 $ et donc pour tout n entier naturel $ u_n>0 $
donc $ u_n $ minoré par 0
$ \frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{1}{(n+1)^2}<1 $ car produit telescopique
donc $ u_n $ est decroissante
suite decroissante et minorée donc convergente
de plus $ u_{n+1}=u_n*(1-\frac{1}{(n+1)^2}) $ ( je suis peut être censé le démontrer par récurrence mais j'ai la flemme )
en passant à la limite on a $ l=l*1 $ donc $ 2l=0 $ et $ l=0 $ donc cette suite converge vers 0

Indication:

SPOILER:

L'expression de $ u_n $ se simplifie par télescopage.

[Siméon]

C'est la somme de 0 à n des $ cos(sin(kx)) $

Et quelle est la question ?

[Pauwl]

Ok je me suis un peu raté

SPOILER:

Pour la limite de u_n :
$ u_n=\displaystyle\prod_{k=2}_{n}\frac{(k-1)(k+1)}{k^2} $et par telescopage du produit
$ u_n=\frac{n+1}{2n} $
et u_n converge vers 0.5

[kakille]

Retenez bien ça les TS, grosso modo c'est ce qui manque même en prépa ... Et même chez des gens très bons.
En gros, tu fais l'analyse (en général la partie la plus compliquée), tu trouves un jouli résultat, t'es tout content et t'oublies la phrase qui tue "Réciproquement, cette fonction convient" (4 petits mots), et bing tu perds la moitié des points à la question, et t'as un joli "LOGIQUE !!" sur ta copie
Donc si ça peut être un réflexe à acquérir à l'entrée en sup, et ben prenez le, c'est important

Surtout quelle peut ne pas convenir du tout, auquel cas on aboutit à l'ensemble vide.

Réflexe : oui, mais pas pavlovien

[kakille]

Pour l'analyse synthèse, j'avoue que j'ai du mal particulièrement pour la phase d'analyse qui,je trouve, est assez abstraite car au final on ne résoud que partiellement le probleme ( par exemple, dans l'exemple de kakille on a carrément plusieurs propositions de réponse ) après je suppose qu'on l'apprendra de façon plus pédagogique l'année prochaine

Mince, moi qui pensait que c'était adapté aux lycéens...

Je vois la phase d'analyse comme la recherche de suspects (conditions nécessaires) à partir d'indices fournis par les techniciens (l'énoncé) : on réunit les candidats, mais on ne sait pas encore lequel/lesquels est/sont celui/ceux à condamner (arrêter quelqu'un pour certaines raisons n'est pas suffisant pour le déclarer coupable). Tous ? Un seul ? Quelques-uns ? Aucun (c'était un accident en fait, pas un crime) ?

Il revient aux enquêteurs et à l'appareil judiciaire de poursuivre l'investigation à partir des suspects arrêtes et de prouver leur culpabilité effective à l'aide de preuves.

[Ewind]

Un exemple de raisonnement typique par analyse synthèse, c'est la résolution d'équation fonctionnelle.

[kakille]

Y'en à une bien connue qui se cache dans l'exo que j'ai posté dans le fil des sup.

[Kuroshitsu]

Bonjour,

Je ne sais pas si il a déjà été posté, mais voici un exercice qui n'utilise que les connaissances de Terminale sur les intégrales, mais qui peut s'avérer frustrant tant que l'on a pas trouvé l'astuce :

Soit $ \[f : \left [ 0,\right 1] \rightarrow \mathbb{R}\] $ continue telle que $ \[\int _{0}^{1}f(t)dt=0\] $. On note $ \[m\] $ le minimum et $ \[M\] $ le maximum de $ \[f\] $ sur $ \[\left [ 0, \right1 ]\] $. Démontrer que $ \[\int _{0}^{1}f^{2}(t)dt\leq -mM\] $.

A ne regarder qu'après avoir cherché plus d'une bonne demi-heure :

SPOILER:

Considérer $ \[\int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt\] $

[Syl20]

[Exercice 555.2]
Soient f et g deux fonctions sinusoïdales de pulsations non nulles respectives $ \omega $ et $ \omega ' $ c'est à dire que pour tout $ t \in \mathbb{R} $,
$ f(t)=cos(\omega t) $
$ g(t)=cos(\omega 't) $
Montrer que f+g est une fonction périodique si et seulement si $ \frac{\omega}{\omega '} \in \mathbb{Q} $

Une proposition :

SPOILER:

Dans le sens réciproque : Soit $ h(t)=cos(wt)+cos(w't) $.Si h est périodique de période $ k \neq 0 \Rightarrow cos(wt)+cos(w't)=cos(w(t+k))+cos(w'(t+k)) $
En particulier pour t=0 : $ cos(wk)+cos(w'k)=2 \Rightarrow wk=2a\pi $ et $ v w'k=2b\pi, (a,b) \in \mathbb{Z}^*^2 $
On a finalement bien $ \frac{w}{w'}=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} $ (et $ k=\frac{2a\pi}{w} $). La propriété est vraie dans le sens réciproque.
Dans le sens direct : Si $ \frac{w}{w'}= \frac{a}{b}, (a,b) \in \mathbb{Z}^*^2\Rightarrow h(t+\frac{2a\pi}{w})=cos(w(t+\frac{2a \pi }{w})) $$ +cos(w'(t+\frac{2a \pi}{w}))=cos (wt+2a\pi)+cos(w't+2\pi a\frac{w'}{w}) $$ =cos (wt+2a\pi )+cos(w't+2\pi b)=h(t) $
h est périodique, la propriété est vraie dans le sens direct.
Il y a donc bien équivalence.