Exercices de MPSI

[VanXoO]

Symétrie: oui mais tu es en spé non ? Tu étais dans un jury ?

Exercice 563.5

Soit $ n $ un entier supérieur à 2.
Montrer que
$ \lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor+\dots+\lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor $$ =\lfloor \log_2 n \rfloor+\lfloor \log_3 n \rfloor+\dots+\lfloor \log_n n \rfloor $

[mathophilie]

Merci JeanN

Déterminer la forme des primitives de la fonction logarithme népérien.

Si tu admets que les exos précédents servent aux suivants )

SPOILER:

On pose $ f(x)=ln(x) $ et$ g'(x)=1 $.
Une IPP nous donne : $ \int_a^b ln(x) dx = [xln(x)]_a^b - \int_a^b \frac{x}{x} dx = blnb - aln(a) + a - b $

SPOILER:

Primitive !

...

SPOILER:

Dans ce cas on remplace par x un des a/b et on l'exprime : $ F(x)=xlnx - x + constante $

[Monsterkuru]

SPOILER:

Il y a plusieurs primitives

[mathophilie]

Soit $ I_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n\left(t\right)dt $
1) Établir une relation de récurrence pour la suite $ (I_n) $
2) Calculer $ I_{2n} $ et $ I_{2n+1} $
3) En déduire $ \int_{0}^{\pi}} \cos^{2p}\left( t\right) dt $

My bad, intégrales de Wallis, je connais en plus...
Juste, pourquoi faire passer par sin et pas par cos vu que c'est la même chose sur cet intervalle ?
En soi on arrive aussi à la même approximation, non ? -->

SPOILER:

\sqrt{\frac{\pi}{2n}}

.

Par contre, ca me paraît harsh de trouver I2p et I2p+1 sans indic. Notre prof nous l'a fait découvrir en nous donnant la formule qu'il fallait démo par récurrence.

[mathophilie]

SPOILER:

Il y a plusieurs primitives

SPOILER:

Ah ah tu peux te foutre de moi tu as le droit J'édite, merci !

[Monsterkuru]

Oui on arrive à la même approximation, car l'intégrale c'est la même modulo le changement de variable x=pi/2 - t, tu peux vérifier.

SPOILER:

Avec la formule de récurrence établie en 1) ça devient de suite plus facile de " deviner " le reste, même si en général on donne les formules

D'ailleurs on peut utiliser ce résultat pour démontrer la formule de Stirling : http://valentin.vinoles.free.fr/documen ... irling.pdf ( je vous conseille d'ailleurs de jeter un œil aux dm ici http://valentin.vinoles.free.fr/index.php?page=divers )

[mathophilie]

Oui on arrive à la même approximation, car l'intégrale c'est la même modulo le changement de variable x=pi/2 - t, tu peux vérifier.

SPOILER:

Avec la formule de récurrence établie en 1) ça devient de suite plus facile de " deviner " le reste, même si en général on donne les formules

D'ailleurs on peut utiliser ce résultat pour démontrer la formule de Stirling : http://valentin.vinoles.free.fr/documen ... irling.pdf ( je vous conseille d'ailleurs de jeter un œil aux dm ici http://valentin.vinoles.free.fr/index.php?page=divers )

Pas faux.
SWAG la formule !
Ca permet aussi de vérifier la formule de l'intégrale de Gauss.

EDIT :Ben d'ailleurs y'a un doc proposé sur le site.

[kakille]

Par contre, ca me paraît harsh de trouver I2p et I2p+1 sans indic. Notre prof nous l'a fait découvrir en nous donnant la formule qu'il fallait démo par récurrence.

Pas d'accord : faire tourner une relation de récurrence de proche en proche pour remonter aux indices initiaux, c'est pas la mort. Ensuite vient la démonstration par récurrence. Dans l'esprit, c'est à peine plus dur que de passer de la déf par récurrence des suites géo à la formule explicite. Il suffit d'itérer et d'observer attentivement.

[Pauwl]

Exercice 559.3
Pour tout $ n \in \mathbb N^* $, on note $ c_n $ le nombre de couples $ (x,y) \in{\mathbb N}^2 $ tels que $ x^2+y^2 \leq n $.
Montrer que la suite de terme général $ \dfrac{c_n}{n} $ converge et déterminer sa limite.

J'ai montré que la suite était convergente mais pour la limite j'ai un petit probleme je crois que

SPOILER:

cette suite est comprise entre (1/4)pi et 1

mais j'arrive pas à l'encadrer pour pouvoir utiliser les gendarmes, un indice ?

[spemaths]

A mon avis c'est pi la limite sauf erreur et je pense qu'il faut raisonner en termes

SPOILER:

d'aire, en considérant qu'une unité d'aire comporte exactement un point à coordonnées entières (en prenant un carré de centre un "point entier")