Exercices de MPSI

[VanXoO]

En fait c'est surtout que le fait que P(X appartient à F_k) tende vers 0 n'a rien à voir avec la proba qui nous intéresse ce n'est pas parce que la proba que X soit égale à un certain ak+b tend vers 0 que la somme de toutes ces probas tend vers 0.

[eusaebus]

Je vois, merci

[kakille]

Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

[spemaths]

Sinon pour l'exo de probas on voit vite que si y a convergence c'est vers :

SPOILER:

1/a

En effet si je note $ p_{n,m} $ la probabilité que $ X_n - b $ soit congru à m modulo a :
Alors
$ p_{n+1,m}= \frac{1}{2}(p_{n,m} + p_{n,m-1}) $

Alors à la limite on a $ p_m = p_{m-1} $ pour tout m et avec
$ p_0 + p_1 + ... + p_{a-1} = 1 $ on a ce qu'on veut

Reste à prouver la convergence de $ p_{n,0} $ et c'est gagné! (la partie la plus compliquée j'imagine)

[rabhix98]

Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

Certes ce n'est pas une application mais j'ai pensé à ça:

SPOILER:

On translate le droite et la figure de sorte que la droite passe par l'origine.
On fait la rotation de sorte que la droite corresponde à l'axe des réels
On passe par le conjugué
Puis opération inverse donc rotation et translation

[mathophilie]

Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

SPOILER:

L'équation de (d) dans le plan peut s'écrire : $ y=ax+b, (a;b) \in \mathbb{R}^2 $.
Pour considéré une symétrie axiale d'un point par rapport à (d), il suffit de se ramener à une symétrie horizontale pour ensuite faire les transformations nécessaires de sorte à "se remettre droit". On notera $ \theta $ l'angle orienté $ (u;OM) $ (vecteurs) où u est le vecteur directeur de l'axe des abscisses, et OM un vecteur directeur de (d). Il nous faut donc : - faire une translation verticale de -b (pour que la droite d passe par l'origine), - faire une rotation de $ -\theta $ (la droite (d) coincide avec l'axe des abscisses), - faire une symétrie horizontale par rapport à l'axe des abscisses - faire une rotation de $ \theta $ - faire une translation verticale de b (revenir dans la configuration initiale). Après bidouillage pour faire plus joli avec les conjugués et exponentielles, sauf erreur, je trouve : $ z \to e^{-2i\theta}(\bar{z}+ib) + ib $.

EDIT : Pas assez rapide.
@rahbix98 : Ben tu peux le traduire en application, après.

[Siméon]

Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.

P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.

Une indication pour ce problème pas si simple :

SPOILER:

Soit $ \omega = e^{i2\pi/a} $. Que vaut $ \frac1a \sum_{r=0}^{a-1} \omega^{kr}\omega^{-br} $ en fonction de $ (k,b) \in \mathbb Z^2 $ ?

P.S. Bien vu cher spemaths ! Il reste à prouver la convergence...

[rabhix98]

Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

SPOILER:

L'équation de (d) dans le plan peut s'écrire : $ y=ax+b, (a;b) \in \mathbb{R}^2 $.
Pour considéré une symétrie axiale d'un point par rapport à (d), il suffit de se ramener à une symétrie horizontale pour ensuite faire les transformations nécessaires de sorte à "se remettre droit". On notera $ \theta $ l'angle orienté $ (u;OM) $ (vecteurs) où u est le vecteur directeur de l'axe des abscisses, et OM un vecteur directeur de (d). Il nous faut donc : - faire une translation verticale de -b (pour que la droite d passe par l'origine), - faire une rotation de $ -\theta $ (la droite (d) coincide avec l'axe des abscisses), - faire une symétrie horizontale par rapport à l'axe des abscisses - faire une rotation de $ \theta $ - faire une translation verticale de b (revenir dans la configuration initiale). Après bidouillage pour faire plus joli avec les conjugués et exponentielles, sauf erreur, je trouve : $ z \to e^{-2i\theta}(\bar{z}+ib) + ib $.

EDIT : Pas assez rapide.
@rahbix98 : Ben tu peux le traduire en application, après.

Je trouve la même chose, et c'est juste que je devais sortir je n'avais pas le temps

[kakille]

rabhix et mathophilie : c'est bien l'idée, soit une illustration en géométrie du "principe de conjugaison" (cf. les suites arithmético-géométriques parmi les autres exemples que vous connaissez ou bien le calcul des puissances d'une matrice M si elle peut s'écrire M=PDP^{-1} avec D diagonale et P inversible. Autre exemple : vous êtes coincé dans un couloir étroit et pas très haut avec une échelle assez longue à la main, vous avez besoin de vous retourner sans la lâcher, il y a une pièce assez large et haute au fond du couloir) :

1. déplacer le problème dans un endroit où on sait le résoudre,
2. le résoudre dans cet endroit,
3. effectuer le déplacement inverse.

D'un usage constant en maths, sous des formes très variées.

Après, faut que je vérifie dans le détail l'expression que vous me donnez.

[spemaths]

Un peu d'analyse proba.

Déjà une 1ere définition : Soit $ (f_n) $ une suite de fonctions définies sur R. On dit que $ (f_n) $ converge simplement vers la fonction $ f $ si pour tout x on a $ f_n(x)\to f(x) $ quand n tend vers l'infini

Si X est une variable aléatoire on note $ F_X $ la fonction de répartition de X : $ F_X(x) = \mathbb{P}(X\leq x) $. Rappel : F est croissante et prend ses valeurs dans [0,1]
Si $ X_1,...X_n $ sont n variables aléatoires iid, on pose $ M_n = max(X_1,...X_n) $

1) Montrer que pour tout x : $ F_{M_n}(x) = (F_{X_1}(x))^n $ (Indice : exprimer $ \{M_n \leq x\} $ en fonction des $ X_i $)
2) Supposons que $ F_{M_n} $ converge simplement vers une certaine fonction F non constante. De variable aléatoire F peut il être la fonction de répartition?

Du coup vu qu'on a ce type de cas dégénérés on cherche à transformer $ M_n $ pour trouver une fonction de répartition limite non "dégénérée"

Pour une certaine loi donnée, on cherches des réels $ a_n>0 $ et $ b_n $ telle que la limite des fonctions de répartition de $ a_n(M_n - b_n) $ soit non dégénérée

3) Supposons que les $ X_i $ suivent une loi uniforme sur $ [0,1] $. On prend $ a_n = n $ et $ b_n = 1 $. Quelle est la fonction limite correspondante?

4) Supposons que les $ X_i $ suivent une loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer de tels paramètres $ a_n $ et $ b_n $.