déjà posé par bibi dans ce fil avec formulation plus précise, schéma toussa toussaDratui a écrit :Je viens de repenser à un petit exercice sympa, bon c'est censé être de la physique, mais c'est totalement basé sur les maths. Réservé aux Terminales, qui le trouveront sûrement facile, mais il est sympa !
On a deux milieux d'indices de réfraction n1 et n2. n1<n2. Donner la valeur de l'angle limite du rayon incident à partir duquel on a une réflexion totale.
Voilà ! :p
Édit : je précise qu'on est bien en situation de dioptre classique, je chamboule pas tout :p
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ah, désolé du doublon foireux alors ! :p
2016/2018 - PCSI/PSI* - Saint-Louis
2018/201X - CentraleSupélec sans rien branler
De plus en plus perdu sur son avenir
2018/201X - CentraleSupélec sans rien branler
De plus en plus perdu sur son avenir
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bonsoir les jeunes,
on considère la suite dont le premier terme est $ 1 $ et dont chaque terme suivant est égal à $ 2 $ plus le produit de tous ses prédécesseurs.
Explicitez cette suite.
on considère la suite dont le premier terme est $ 1 $ et dont chaque terme suivant est égal à $ 2 $ plus le produit de tous ses prédécesseurs.
Explicitez cette suite.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bonsoir,kakille a écrit :Bonsoir les jeunes,
on considère la suite dont le premier terme est $ 1 $ et dont chaque terme suivant est égal à $ 2 $ plus le produit de tous ses prédécesseurs.
Explicitez cette suite.
C'est tout joli comme exo

SPOILER:
Dernière modification par Syl20 le 12 mai 2016 18:35, modifié 5 fois.
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018
X2018
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Sauf erreur bête de ma part, ta définition par récurrence de la suite (d'ailleur tu as zappé le n+1 je crois) ne fonctionne pas pour n=0, car $ (u_0-2)u_0 +2 = 1 $
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*
“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*
“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Oui pour le typo, et pour le remarque qui suit :j'avais oublié l'étoile (qu'est ce que c'est ch... Latexeusaebus a écrit :Sauf erreur bête de ma part, ta définition par récurrence de la suite (d'ailleur tu as zappé le n+1 je crois) ne fonctionne pas pour n=0, car $ (u_0-2)u_0 +2 = 1 $

Et du coup je rage parce que j'arrive pas à éditer sur mon tel


2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018
X2018
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
J'ai déjà donné l'indication suivante :Siméon a écrit : Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.
SPOILER:
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Syl20 : ok, bien joué. A noter qu'il n'est pas nécessaire d'en passer par une relation de récurrence, comme tu as fait. On peut simplement
SPOILER:
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Hello, désolée pour l'absence, engagements en tous genres en fin d'année...
Par contre pour 1, effectivement...
Il faut que je réfléchisse pour la divergence vers $ +\infty $.
)
mathophilie a écrit :Il m'a pas paru dur étonnamment et ma preuve me semble bien trop courte, donc j'ai du loupé quelque chose mais bon... Vous me direz... :Monsterkuru a écrit :Des intégrales ? Rien ne me vient à l'esprit ( faut dire que toute la " véritable " théorie autour est vue en sup ). Faudra se contenter de l'arithmétique comme vous n'aimez pas la géo![]()
Un célèbre :
C'est moins dur que ( le cas particulier de ) Davenport-Cassels (Si $ N $ est un entier naturel, on note $ S (N) $ la somme des chiffres (en base 10, bien sûr ) de $ N $. Montrer que la suite $ S (2^{n}) $ diverge.), mais ça reste assez dur.
.SPOILER:
Par l'intuition, je dirais même que $ u_n $ diverge vers $ +\infty $ (sinon u_n serait périodique et on a du mal à y croire mathématiquement pour les puissances de 2), mais je vois pas trop comment démontrer (doit y'avoir des congruences modulo 10 ou des trucs relatifs à des 0 dans le nombre, mais bon).
J'ai testé pour pas mal de nombre et ça ne semble marcher uniquement pour les multiples de 3. En plus le seul modulo pour lequel 10 est congru à 1 est 3... (ce qui n'est pas une assurance de la véracité de la preuve, mais ca oriente quand même). T'es sûr que c'est faux ?Monsterkuru a écrit :Ce passage me semble faux ( ou alors je fatigue ) : La somme des chiffres des multiples de p divisible par un même entier a quelque soit le rang --> critère de divisibilité des multiples de 3 (donc p=3).
C'est la réciproque qui est évidemment vraie.
Déjà, c'est faux si a=1

Par contre pour 1, effectivement...

Il faut que je réfléchisse pour la divergence vers $ +\infty $.
OMG j'aurais pas trouvé... Merci. Mais est-on censé maitriser les sommations doubles ? (est-on supposé tomber dessus déjàSiméon a écrit :J'ai déjà donné l'indication suivante :Siméon a écrit : Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.Pour ceux qui ne voient pas comment l'utiliser :SPOILER:SPOILER:

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je ne trouve nulle part sur internet mention d'un théorème pareil et je n'ai aucune idée de comment le démontrer ou l'infirmer ( un peu la flemme aussi sachant que ce genre de trucs sont souvent trompeurs, tu peux mail Tao
).
Donc a priori, c'est inutilisable, mais tu peux t'en sortir avec une jolie méthode trouvée par Siméon ( tu peux voir son message pour t'orienter ).

Donc a priori, c'est inutilisable, mais tu peux t'en sortir avec une jolie méthode trouvée par Siméon ( tu peux voir son message pour t'orienter ).