Exercices de MPSI

[kakille]

Je viens de repenser à un petit exercice sympa, bon c'est censé être de la physique, mais c'est totalement basé sur les maths. Réservé aux Terminales, qui le trouveront sûrement facile, mais il est sympa !

On a deux milieux d'indices de réfraction n1 et n2. n1<n2. Donner la valeur de l'angle limite du rayon incident à partir duquel on a une réflexion totale.

Voilà ! :p

Édit : je précise qu'on est bien en situation de dioptre classique, je chamboule pas tout :p

déjà posé par bibi dans ce fil avec formulation plus précise, schéma toussa toussa

[Dratui]

Ah, désolé du doublon foireux alors ! :p

[kakille]

Bonsoir les jeunes,

on considère la suite dont le premier terme est $ 1 $ et dont chaque terme suivant est égal à $ 2 $ plus le produit de tous ses prédécesseurs.

Explicitez cette suite.

[Syl20]

Bonsoir les jeunes,

on considère la suite dont le premier terme est $ 1 $ et dont chaque terme suivant est égal à $ 2 $ plus le produit de tous ses prédécesseurs.

Explicitez cette suite.

Bonsoir,
C'est tout joli comme exo

SPOILER:

Soit $ (u_n) $ la suite de l'exercice. On a donc $ u_0=1 $,$ u_1=3 $ et $ \forall n \in \mathbb{N} ^* , u_{n+1} =u_n (u_n-2)+2= $ $ u_n^2-2u_n+2=(u_n-1)^2+1 $.
En regardant les premiers termes, on reconnait les nombres de Fermat : on démontre donc par récurrence $ Pn : \forall n \in \mathbb{N} ^*, u_n=2^{2^{n-1}}+1 $.
L'initialisation est immédiate en n=1, et si on suppose pour un rang n>0 que Pn est vraie, on a$ u_{n+1}=(2^{2^{n-1}})^2+1=2^{2^{n}}+1 $, Pn+1 l'est aussi.
On a donc : $ \left\{\begin{matrix}
u_0=1 \\
\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n=2^{2^{n-1}}+1
\end{matrix}\right. $

[eusaebus]

Sauf erreur bête de ma part, ta définition par récurrence de la suite (d'ailleur tu as zappé le n+1 je crois) ne fonctionne pas pour n=0, car $ (u_0-2)u_0 +2 = 1 $

[Syl20]

Sauf erreur bête de ma part, ta définition par récurrence de la suite (d'ailleur tu as zappé le n+1 je crois) ne fonctionne pas pour n=0, car $ (u_0-2)u_0 +2 = 1 $

Oui pour le typo, et pour le remarque qui suit :j'avais oublié l'étoile (qu'est ce que c'est ch... Latex )
Et du coup je rage parce que j'arrive pas à éditer sur mon tel (je crois que c'est bon maintenant)

[Siméon]

Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.

P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.

J'ai déjà donné l'indication suivante :

SPOILER:

Soit $ \omega = e^{i2\pi/a} $. Que vaut $ \frac1a \sum_{r=0}^{a-1} \omega^{kr}\omega^{-br} $ en fonction de $ (k,b) \in \mathbb Z^2 $ ?

Pour ceux qui ne voient pas comment l'utiliser :

SPOILER:

En déduire que la probabilité recherchée égale $ \displaystyle \frac{1}{a}\sum_{r=0}^{a-1}\omega^{-br}\left(1-p+\omega^rp\right)^n $, puis conclure.

[kakille]

Syl20 : ok, bien joué. A noter qu'il n'est pas nécessaire d'en passer par une relation de récurrence, comme tu as fait. On peut simplement

SPOILER:

calculer quelques termes, faire une conjecture puis la démontrer par récurrence.

[mathophilie]

Hello, désolée pour l'absence, engagements en tous genres en fin d'année...

Des intégrales ? Rien ne me vient à l'esprit ( faut dire que toute la " véritable " théorie autour est vue en sup ). Faudra se contenter de l'arithmétique comme vous n'aimez pas la géo

Un célèbre :

Si $ N $ est un entier naturel, on note $ S (N) $ la somme des chiffres (en base 10, bien sûr ) de $ N $. Montrer que la suite $ S (2^{n}) $ diverge.

C'est moins dur que ( le cas particulier de ) Davenport-Cassels ( ), mais ça reste assez dur.

Il m'a pas paru dur étonnamment et ma preuve me semble bien trop courte, donc j'ai du loupé quelque chose mais bon... Vous me direz... :

SPOILER:

Supposons par l'absurde que cette somme converge. Si une suite converge sur R, alors la différence entre deux termes successifs tend vers 0. On en déduit que sur N, la différence entre deux termes prenant des valeurs discrètes, si une suite converge, alors $ \exists p \in N / \forall n\ge p, u_n = u_{n+1} $. Et plus largement donc, qu'à partir d'un certain rang, les termes de $ (u_n) $ sont tous divisibles par un même entier $ a $. La somme des chiffres des multiples de p divisible par un même entier $ a $ quelque soit le rang --> critère de divisibilité des multiples de 3 (donc $ p=3) $. Il vient alors qu'il existe un rang p tel que $ 2^n $ est divisible par 3 : Absurde. Donc cette somme diverge.

.

Par l'intuition, je dirais même que $ u_n $ diverge vers $ +\infty $ (sinon u_n serait périodique et on a du mal à y croire mathématiquement pour les puissances de 2), mais je vois pas trop comment démontrer (doit y'avoir des congruences modulo 10 ou des trucs relatifs à des 0 dans le nombre, mais bon).

Ce passage me semble faux ( ou alors je fatigue ) : La somme des chiffres des multiples de p divisible par un même entier a quelque soit le rang --> critère de divisibilité des multiples de 3 (donc p=3).
C'est la réciproque qui est évidemment vraie.
Déjà, c'est faux si a=1

J'ai testé pour pas mal de nombre et ça ne semble marcher uniquement pour les multiples de 3. En plus le seul modulo pour lequel 10 est congru à 1 est 3... (ce qui n'est pas une assurance de la véracité de la preuve, mais ca oriente quand même). T'es sûr que c'est faux ?
Par contre pour 1, effectivement...

Il faut que je réfléchisse pour la divergence vers $ +\infty $.

Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.

P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.

J'ai déjà donné l'indication suivante :

SPOILER:

Soit $ \omega = e^{i2\pi/a} $. Que vaut $ \frac1a \sum_{r=0}^{a-1} \omega^{kr}\omega^{-br} $ en fonction de $ (k,b) \in \mathbb Z^2 $ ?

Pour ceux qui ne voient pas comment l'utiliser :

SPOILER:

En déduire que la probabilité recherchée égale $ \displaystyle \frac{1}{a}\sum_{r=0}^{a-1}\omega^{-br}\left(1-p+\omega^rp\right)^n $, puis conclure.

OMG j'aurais pas trouvé... Merci. Mais est-on censé maitriser les sommations doubles ? (est-on supposé tomber dessus déjà )

[Monsterkuru]

Je ne trouve nulle part sur internet mention d'un théorème pareil et je n'ai aucune idée de comment le démontrer ou l'infirmer ( un peu la flemme aussi sachant que ce genre de trucs sont souvent trompeurs, tu peux mail Tao ).
Donc a priori, c'est inutilisable, mais tu peux t'en sortir avec une jolie méthode trouvée par Siméon ( tu peux voir son message pour t'orienter ).