Exercices de MPSI

[Siméon]

Je crois que tu confonds la rotation et le disque obtenu par la rotation. Regarde l'exemple d'un disque coloré avec une seule couleur : il y a $ p $ rotations distinctes, mais elles donnent toutes le même disque.

[Syl20]

Un joli exercice de JC_Maths :

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

C'est consorts qui répond

SPOILER:

On remarque tout d'abord que pour tout impair k, $ (x-a)^k+a^k=\sum _{i=0}^k(-1)^i \dbinom{i}{k}x^ia^{k-i}+a^k $$ =(\sum _{i=1}^k(-1)^i \dbinom{i}{k}x^ia^{k-i} )-a^k+a^k=\sum _{i=1}^k(-1)^i \dbinom{i}{k}x^ia^{k-i} $, d'où $ x|(x-a)^k+a^k $.
On note $ s_k(n)=1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $
Or, pour p entier naturel, $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p+1)^k=\sum_{i=0}^p (2p+1-i)^k+i^k $$ \Rightarrow 2p+1|s_k(2p+1) $
De plus, pour p non nul, $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p)^k)=p^k+\sum_{i=0}^{p-1}(2p-i)^k+i^k $$ \Rightarrow p |s_k(2p) $
Or, comme $ p+1 |1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p+2)^k $, alors $ p+1 |1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p+1)^k $.
De même, comme $ 2p+1|1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p+1)^k $, alors $ 2p+1|1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (2p)^k $.
Ainsi, si n est impair,$ s_k(n) $ est multiple de $ n $ et de $ \frac{n+1}{2} $, deux nombres premiers entre eux.
On a donc $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k=q \frac{n(n+1)}{2} $, qui est donc bien un multiple de de $ 1+2+\cdots+n $.
Si n est pair, $ s_k(n) $ est multiple de $ \frac{n}{2} $ et de (n+1) (premiers entre eux), et est donc également un multiple de $ 1+2+...+n $

Ca s'explique mieux evec les mains je trouve

[Siméon]

Aux coquilles près, je crois que c'est juste Syl20. Par contre, la rédaction n'est pas très claire et tu utilises du hors-programme inutile (formule de binôme) : en fait, c'est immédiat de voir que $ x \mid (x-a)^k + a^k $ avec les congruences.

P.S. Ainsi, tu es le consort de la reine mathophilie ?

[kakille]

Bonsoir,

Résoudre l'équation d'inconnue $ n $ entier naturel :
$ (n+3)^n=\sum_{i=3}^{n+2} i^n $

[mathophilie]

Bonsoir,

Résoudre l'équation d'inconnue $ n $ entier naturel :
$ (n+3)^n=\sum_{i=3}^{n+2} i^n $

SPOILER:

On pose $ v_n=(n+3)^n $ et $ w_n = \sum_{i=3}^{n+2} i^n $Pour n strictement positif$ \frac{(n+1)^n}{n^n} = (1+\frac{1}{n})^n = u_n $. $ (u_n) $ est une suite strictement croissante de limite e. Donc on peut majorer la somme de droite par la somme des termes d'une suite géométrique de raison 3. Ainsi : $ \sum_{i=3}^{n+2} i^n \le 3^n*\frac{3^n-1}{2} $. Donc $ w_{n+1} \le 9w_n $ (pour s'en convaincre il faut chercher un l tel que en posant Sn la somme qui majore wn, on ait $ S_{n+1} \le l*S_n $).
De plus, $ \forall n \in [5;+inf[, v_{n+1} \ge 9*v_n $. Or $ v_5 \ge w_5 $. Donc on peut restreindre la recherche sur [1;5]. On trouve n=2 et n=3 comme solutions sur N*.

P.S. Ainsi, tu es le consort de la reine mathophilie ?

Siméon ? Tout va bien ? On a piraté ton compte ?

[Siméon]

Mais je n'invente rien ! il l'a écrit lui-même :

C'est consorts qui répond

Sinon, oui, tout va bien. Je vois que mon stratagème fonctionne...

[Syl20]

P.S. Ainsi, tu es le consort de la reine mathophilie ?

Non,ma reine, c'est l'arithmétique ! ou quelque chose qui finit pareil...
Quel est donc ce stratagème, d'ailleurs ?
Edit : je viens de découvrir l'autre sens de consort...

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :

Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

[darklol]

SPOILER:

Donc on peut majorer la somme de droite par la somme des termes d'une suite géométrique de raison 3. Ainsi : $ \sum_{i=3}^{n+2} i^n \le 3^n*\frac{3^n-1}{2} $.

??
Remarque que dès que $ n \geq 1 $, $ \sum_{i=3}^{n+2} i^n = \sum_{i=3}^{n+1} {i^n} + (n+2)^n \geq (n+2)^n $, puis je t'invite à comparer (par exemple à l'aide de ta calculette en premier lieu) $ (n+2)^n $ et $ 3^n \cdot \frac{3^n-1}{2} $.

(j'ai vraiment pas compris l'argument qui t'as fait arriver à cette conclusion mais en tout cas il est faux)

[mathophilie]

SPOILER:

Donc on peut majorer la somme de droite par la somme des termes d'une suite géométrique de raison 3. Ainsi : $ \sum_{i=3}^{n+2} i^n \le 3^n*\frac{3^n-1}{2} $.

??
Remarque que dès que $ n \geq 1 $, $ \sum_{i=3}^{n+2} i^n = \sum_{i=3}^{n+1} {i^n} + (n+2)^n \geq (n+2)^n $, puis je t'invite à comparer (par exemple à l'aide de ta calculette en premier lieu) $ (n+2)^n $ et $ 3^n \cdot \frac{3^n-1}{2} $.

(j'ai vraiment pas compris l'argument qui t'as fait arriver à cette conclusion mais en tout cas il est faux)

Pff désolée je me suis plantée dans ma recherche d'une suite géométrique qui majore... J'ai pris $ \frac{(n+1)^n}{n^n} $ alors qu'il faudrait prendre un k compris entre 3 et n+2 tel que $ \frac{(k+1)^n}{k^n} $...
Je vais retravailler ca.

[mathophilie]

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :
Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

SPOILER:

(0;0;0) est solution. On suppose maintenant que les inconnues ne sont pas simultanément nulles. L'équation nous donne $ x^2+y^2 $ divisible par 7. En regardant les congruences des carrés modulo 7 (qui valent soit 0,1,2,4) on en déduit que x et y sont tous les deux des multiples de 7. On trouve donc $ 49k^2 + 49k'^2 = 7z^2$ , soit $7(k^2+k'^2)=z^2 $. d'où z divisible par 7. Ainsi donc on retombe sur une nouvelle équation : $ k^2 + k'^2 = 7k''^2 $. En fait, on peut faire tourner ce processus autant qu'on le veut, il adviendra nécessairement un moment ou les k, k' et k'' ne seront tous plus divisible par 7. On en déduit donc que la seule solution est (0;0;0).