Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
rabhix98

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par rabhix98 » 25 juin 2016 00:50

Et si x et y sont tous deux multiples de 7 ?...

dark-raval

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par dark-raval » 25 juin 2016 00:54

rabhix98 a écrit :Et si x et y sont tous deux multiples de 7 ?...
bah ca veut dire qu'ils sont congrus a 0 et que la somme de leurs carre l'est aussi

dark-raval

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par dark-raval » 25 juin 2016 01:16

dark-raval a écrit :
rabhix98 a écrit :Et si x et y sont tous deux multiples de 7 ?...
bah ca veut dire qu'ils sont congrus a 0 et que la somme de leurs carre l'est aussi
EDIT - Ah c'est bon, j'ai compris ta remarque, en effet, t'as raison, si on utilise que les congruences, on peut conclure que tout les nombres s'ecrivant de la forme de 7K sont solutions de cette equation, ce qui est faux car la seule solution est 0,0,0 , du coup on rejoins le raisonnement de matho pour conclure que seul 0,0,0 est valable


Ou on peut tout de meme remplacer dans l'equation x et y par 7K, 7K' et on obtient == 7(k au carre +k' au carre )=z au carre d'ou z= racine carre de 7(k au carre +k' au carre ) or vu que z est un entier relatif alors (k au carre +k' au carre )=0, ce qui est possible seulement pour k=k'=0 voila !

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 25 juin 2016 01:46

Quelqu'un pour un exo ?

rabhix98

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par rabhix98 » 25 juin 2016 01:50

Ce qu'on aurait pu faire aussi c'est diviser l'équation par PGCD(x;y;z) et normalement tomber sur des chiffes dont le PGCD est égal à 1... ensuite congruences on montre que 7 divise les 3 nouveaux chiffres ce qui est absurde. CQFD

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Nico_ » 25 juin 2016 02:12

mathophilie a écrit :Quelqu'un pour un exo ?
Comme promis je tape un peu plus fort avec deux exos d'Olympiades que j'aime bien (enfin surtout le 2ème). Le premier est je pense faisable mais bon quand j'avais essayé de le faire y'a 2 ans j'avais mis un temps de ouf et j'avais une solution dégueulasse (avant que V@J m'en montre une jolie astucieuse :) ).
Let $ n\geq 3 $ be an integer, and consider a circle with $ n+1 $ equally spaced points marked on it. Consider all labellings of these points with the numbers $ 0,1,\dots $$ , n $ such that each label is used exactly once; two such labellings are considered to be the same if one can be obtained from the other by a rotation of the circle. A labelling is called beautiful if, for any four labels $ a<b<c<d $ with $ a+d=b+c $, the chord joining the points labelled $ a $ and $ d $ does not intersect the chord joining the points labelled $ b $ and $ c $.

Let $ M $ be the number of beautiful labellings and let $ N $ be the number of ordered pairs $ (x,y) $ of positive integers such that $ x+y\leq n $ and $ \gcd(x,y)=1 $. Prove that $ M=N+1 $.
Aide : https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

Un autre assez hardcore que j'avais posté mais auquel personne ne s'était attaqué je crois (je ne me souviens plus trop d'où il vient) :
Assign to each side $ b $ of a convex polygon $ P $ the maximum area of a triangle that has $ b $ as a side and is contained in $ P $. Show that the sum of the areas assigned to the sides of $ P $ is at least twice the area of $ P $.
Je reviens bientôt avec des exos faisables, bisous :twisted:
MPSI/MP* -- Lycée du Parc
École Normale Supérieure -- Ulm

Ne répond pas aux relous par MP.

KGD

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par KGD » 25 juin 2016 02:19

Un plus faisable, vu qu'on parlait de valuations un peu plus haut:
Caractériser les valuations de $ \mathbb Q $, c'est à dire les applications $ v: \mathbb Q^{\times}\to \mathbb Z $ telles que, pour tous $ x, y \in \mathbb Q^{\times} $, on ait $ v(xy) = v(x)+v(y) $ et $ v(x+y) \ge \min(v(x),v(y)) $

symétrie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par symétrie » 25 juin 2016 10:17

Dans le style des exercices de Nico_, un autre exercices d'olympiade que je trouve marrant :
Au début, chacune des six boîtes $ B_1 $, $ B_2 $, $ B_3 $, $ B_4 $, $ B_5 $ et $ B_6 $ contient un jeton. Deux types d’opération sont possibles :
Type 1 : Choisir une boîte non vide $ B_j $ avec $ 1 \leq j \leq 5 $ ; ôter un jeton de la boîte $ B_j $ et ajouter deux jetons dans la boîte $ B_{j + 1} $
Type 2 : Choisir une boîte non vide $ B_k $ avec $ 1 \leq k \leq 4 $ ; ôter un jeton de la boîte $ B_k $ et échanger les contenus des boîtes (éventuellement vides) $ B_{k+1} $ et $ B_{k+2} $.
Montrer qu'il est possible, à la suite d’un nombre fini de telles opérations, que les boîtes $ B_1 $, $ B_2 $, $ B_3 $, $ B_4 $, $ B_5 $ soient vides et que la boîte $ B_6 $ contienne $ 2010^{2010^{2010}} $ jetons.

Alors celui-là est peut-être plus facile (en tout cas suivant la classification de niveau des olympiades c'est le cas, après j'en sais rien parce que j'ai pas essayé ceux de Nico_ mais j'ai pas trop envie là, ça risque de me déprimer pour mes oraux). Disons qu'en tout cas je l'ai réussi quand j'étais en terminale, non sans difficulté, donc c'est quand même peut-être plus réaliste qu'un exercice que Nico_ galère à faire en ayant largement dépassé la terminale. :) (Après ça veut pas dire que c'est pas la peine de chercher ses exos, au contraire, moi j'aime bien chercher des exos trop durs pour moi, même si je trouve pas c'est marrant.)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 25 juin 2016 12:47

Outch ça devient hyper chaud ce fil !
Pour info, ils sortent d'où tes exos Nico ?

PS : Les terminales (surtout Mathophilie et Syl20) vous êtes vraiment impressionnants je pense que vous allez tout déchirer l'année pro et je suis sérieux ;)
2015/2016 : MPSI, Lycée Louis le Grand
2016/2017 : MP*, Lycée Louis le Grand
2017/2018 : ENS Ulm

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 25 juin 2016 14:28

Tornado a écrit :Outch ça devient hyper chaud ce fil !
Pour info, ils sortent d'où tes exos Nico ?

PS : Les terminales (surtout Mathophilie et Syl20) vous êtes vraiment impressionnants je pense que vous allez tout déchirer l'année pro et je suis sérieux ;)
Beaucoup trop chaud même ! :lol: J'aurais très certainement besoin d'indication pour les exos au-dessus, mais je vais bien chercher et essayer de trouver des pistes avant de vous les demander :)
@Tornado : Euh n'exagère rien c'est l'exo des 7k là qui te fait dire ça ?! :lol: (Syl20 par contre oui, surtout l'exo des 1+...)

@KGD : Désolée, je ne prends pas d'avance sur le programme de l'année prochaine, du coup ca veut dire quoi la petite croix au-dessus de Q dans ton exercice ? :oops: Merci :) (Et juste, "caractériser", ca veut dire en donner la forme ?)

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