Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » sam. juin 25, 2016 2:28 pm

Tornado a écrit :Outch ça devient hyper chaud ce fil !
Pour info, ils sortent d'où tes exos Nico ?

PS : Les terminales (surtout Mathophilie et Syl20) vous êtes vraiment impressionnants je pense que vous allez tout déchirer l'année pro et je suis sérieux ;)

Beaucoup trop chaud même ! :lol: J'aurais très certainement besoin d'indication pour les exos au-dessus, mais je vais bien chercher et essayer de trouver des pistes avant de vous les demander :)
@Tornado : Euh n'exagère rien c'est l'exo des 7k là qui te fait dire ça ?! :lol: (Syl20 par contre oui, surtout l'exo des 1+...)

@KGD : Désolée, je ne prends pas d'avance sur le programme de l'année prochaine, du coup ca veut dire quoi la petite croix au-dessus de Q dans ton exercice ? :oops: Merci :) (Et juste, "caractériser", ca veut dire en donner la forme ?)

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brank
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par brank » sam. juin 25, 2016 2:58 pm

ça veut dir qu'on enlève 0 la croix. Tu comprends pourquoi on prend cette précaution ?
C'est une fiotte.

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » sam. juin 25, 2016 3:01 pm

brank a écrit :ça veut dir qu'on enlève 0 la croix. Tu comprends pourquoi on prend cette précaution ?

Mais pourquoi c'est pas une étoile ?
Euh, ptètre parce que sinon v(0) vaudrait 0, et c'est caca pour les valuations ?

EDIT : Mdr pourquoi je comprends rien ? :lol: :cry: https://fr.wikipedia.org/wiki/Valuation ... r.C3.A8tes

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symétrie
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par symétrie » sam. juin 25, 2016 3:20 pm

Pas besoin de lire la page Wikipédia sur les valuations pour résoudre l'exercice.
L'étoile ça veut dire la même chose sauf que c'est un peu moche. La croix c'est un peu une version chic. Enfin en gros. Dans certains contextes ça voudrait pas dire la même chose. Enfin après c'est une question de convention, dont je suis pas sûr qu'elles soient universelles.

Et le problème d'autoriser 0 est plus grave que ça. Enfin à toi de voir. ;)

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » sam. juin 25, 2016 3:22 pm

symétrie a écrit :Pas besoin de lire la page Wikipédia sur les valuations pour résoudre l'exercice.
L'étoile ça veut dire la même chose sauf que c'est un peu moche. La croix c'est un peu une version chic. Enfin en gros. Dans certains contextes ça voudrait pas dire la même chose. Enfin après c'est une question de convention, dont je suis pas sûr qu'elles soient universelles.

Et le problème d'autoriser 0 est plus grave que ça. Enfin à toi de voir. ;)

Y'a besoin d'aucune connaissances HP ? Tant mieux parce que la page wiki... j'ai pas compris :lol: (groupe abélien wut ?)
Et juste, caractériser, c'est comme trouver la forme de la fonction ?

Et pour l'histoire du 0, à première vue le coup du v(xy)=v(x)+v(y) ca ressemble drôlement à du logarithme... ?
EDIR : le problème c'est que ca colle pas du tout avec le reste, notamment les ensemble de départ et d'arrivée.
Modifié en dernier par mathophilie le sam. juin 25, 2016 3:31 pm, modifié 2 fois.

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brank
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par brank » sam. juin 25, 2016 3:24 pm

Essaye de faire un effort sur le langage ma grande s'il te plait, t'es pas sur la chaine d'Enjoyphoenix ici. Je crois (à confirmer par les matheux) que la différence avec l'étoile, c'est que la croix veut dire inversible ce qui est la même chose ici mais des fois c'est différent.
C'est une fiotte.

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » sam. juin 25, 2016 3:28 pm

brank a écrit :Essaye de faire un effort sur le langage ma grande s'il te plait, t'es pas sur la chaine d'Enjoyphoenix ici. Je crois (à confirmer par les matheux) que la différence avec l'étoile, c'est que la croix veut dire inversible ce qui est la même chose ici mais des fois c'est différent.

Quel dommage, j'aurais pu faire des maths en regardant mon idole.
Sinon merci :)

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rabhix98
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par rabhix98 » sam. juin 25, 2016 4:53 pm

Je ne sais pas si ça a déjà été posé mais bon c'est sympa (et c'est de l'arithmétique :mrgreen: )...

Soit $ p>1 $ un entier naturel. Démontrer le théorème de Wilson:
$ p $ $ premier $ $ \Leftrightarrow (p-1)!+1\equiv 0 [p] $


EDIT: J'arrive à démontrer le sens indirect facilement mais pas le sens direct... Une indication d'un sup ?
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Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » sam. juin 25, 2016 8:33 pm

rabhix98 a écrit :Je ne sais pas si ça a déjà été posé mais bon c'est sympa (et c'est de l'arithmétique :mrgreen: )...

Soit $ p>1 $ un entier naturel. Démontrer le théorème de Wilson:
$ p $ $ premier $ $ \Leftrightarrow (p-1)!+1\equiv 0 [p] $


EDIT: J'arrive à démontrer le sens indirect facilement mais pas le sens direct... Une indication d'un sup ?


Ca se fait bien avec de la théorie des groupes sur $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* $. Pour rester dans le programme de terminale, je dirais :

SPOILER:
A l'aide d'un théorème de spé maths montre le résultat suivant :

Si p est premier, pour tout $ n\in {1,2,...,p-1} $ il existe un unique $ m $ dans le même ensemble tel que $ nm\equiv 1 [p] $

Il reste ensuite à étudier dans quel cas $ n=m $ et on s'en sort

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into44
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par into44 » sam. juin 25, 2016 10:08 pm

Quitte à utiliser le programme de spé, autant utiliser le petit théorème de Fermat en considérant le polynôme X^p-1... je ne sais pas vraiment si c'est faisable avec les outils de Term...
La réciproque par contre c'est jouable
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Monsterkuru
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » sam. juin 25, 2016 10:26 pm

Bien sûr que si c'est faisable avec des outils de Terminale, la démo avec la théorie des groupes ne demande ( dans le fond ) pas vraiment d'utiliser des théorèmes de prépa. L'indication de Zetary est bonne mais vend la mèche. Je vous conseille plutôt de
SPOILER:
regarder attentivement (p-1)! ( mod p :) ) et de tester avec 5,7,11.. vous allez remarquer un truc, il ne restera plus qu'à prouver un petit lemme pour finir.

donnerwetter
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par donnerwetter » dim. juin 26, 2016 12:27 am

Cool, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit premier ! Dommage que ça implique de calculer (p-1)!, sinon j'imagine que ça aurait pu être super utile en pratique...

Zetary a écrit :Ca se fait bien avec de la théorie des groupes sur $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* $. Pour rester dans le programme de terminale, je dirais :

SPOILER:
A l'aide d'un théorème de spé maths montre le résultat suivant :

Si p est premier, pour tout $ n\in {1,2,...,p-1} $ il existe un unique $ m $ dans le même ensemble tel que $ nm\equiv 1 [p] $

Il reste ensuite à étudier dans quel cas $ n=m $ et on s'en sort


Une tentative (je me suis relu cette fois ;) ) :
SPOILER:
Soit $ n \in \{{1,2,...,p-1\} } $. $ p $ étant un nombre premier, $ PGCD(n;p)=1 $ et donc il existe $ u $ et $ m $ éléments de $ \mathbb{Z} $ tels que $ pu+nm=1 $ i.e. $ nm \equiv1 \pmod p $. Supposons qu'un entier $ m' $ autre que $ m $ remplisse cette condition. Alors $ nm' \equiv1 \pmod p $ d'où $ nmm' \equiv m \pmod p $ et donc $ m' \equiv m \pmod p $. Ainsi m est unique.

Déterminer quand n=m revient à déterminer quand $ n^2 \equiv1 \pmod p $ i.e. $ p \mid n^2 - 1 $. Pour $ n \in \{{1,2,...,p-1\} } $, ceci advient quand $ (n+1)(n-1) \in \{0;p\} $ i.e. n = 1 ou p-1. Par extension n est différent de m pour n différent de 1 et p-1.

D'après ce dernier lemme, les n et m tels que $ 2 \leq n \leq p-2 $ et $ 2 \leq m \leq p-2 $ (n et m différents de 1 et p-1) forment (p-3)/2 paires de la forme $ nm \equiv1 \pmod p $ avec n et m distincts. On obtient donc en multipliant ces (p-3)/2 congruences : $ 2*3*...*(p-2) \equiv (p-2)! \equiv 1 \pmodp $ et en multipliant par p-1 : $ (p-1)! \equiv -1 \pmod p $.

Réciproquement si p est non premier, alors p = ab où a et b sont dans $ \{2;...p-1\} $. Comme $ (p-1)! \equiv 1 \pmod p $, p = ab ne divise pas (p-1)!. Or a et b divisent nécessairement 2, ou 3, etc. qui eux-mêmes divisent (p-1)! donc p doit diviser (p-1)! ce qui est absurde.

Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » dim. juin 26, 2016 12:42 am

donnerwetter a écrit :Une tentative (je me suis relu cette fois ;) ) :
SPOILER:
Soit $ n \in \{{1,2,...,p-1\} } $. $ p $ étant un nombre premier, $ PGCD(n;p)=1 $ et donc il existe $ u $ et $ m $ éléments de $ \mathbb{Z} $ tels que $ pu+nm=1 $ i.e. $ nm \equiv1 \pmod p $. Supposons qu'un entier $ m' $ autre que $ m $ remplisse cette condition. Alors $ nm' \equiv1 \pmod p $ d'où $ nmm' \equiv m \pmod p $ et donc $ m' \equiv m \pmod p $. Ainsi m est unique.

Déterminer quand n=m revient à déterminer quand $ n^2 \equiv1 \pmod p $ i.e. $ p \mid n^2 - 1 $. Pour $ n \in \{{1,2,...,p-1\} } $, ceci advient quand $ (n+1)(n-1) \in \{0;p\} $ i.e. n = 1 ou p-1. Par extension n est différent de m pour n différent de 1 et p-1.

D'après ce dernier lemme, les n et m tels que $ 2 \leq n \leq p-2 $ et $ 2 \leq m \leq p-2 $ (n et m différents de 1 et p-1) forment (p-3)/2 paires de la forme $ nm \equiv1 \pmod p $ avec n et m distincts. On obtient donc en multipliant ces (p-3)/2 congruences : $ 2*3*...*(p-2) \equiv (p-2)! \equiv 1 \pmodp $ et en multipliant par p-1 : $ (p-1)! \equiv -1 \pmod p $.

Réciproquement si p est non premier, alors p = ab où a et b sont dans $ \{2;...p-1\} $. Comme $ (p-1)! \equiv 1 \pmod p $, p = ab ne divise pas (p-1)!. Or a et b divisent nécessairement 2, ou 3, etc. qui eux-mêmes divisent (p-1)! donc p doit diviser (p-1)! ce qui est absurde.


Oui sauf que pour la fin de la réciproque tu as besoin que a et b soient premiers entre eux, ce que tu peux bien sûr supposer mais il est nécessaire de le préciser ;-)
Sinon oui c'est bien à cette démonstration que je pensais bien qu'il en existe de nombreuses autres, c'est je trouve la plus claire.

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LogarithmeNeper
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LogarithmeNeper » dim. juin 26, 2016 11:33 am

Allez je me lance ! Mon prof de maths m'a proposé de démontrer cette formule d'analyse :
$ \displaystyle f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)(b-a)^k}{k!} + \int_a^b \frac{f^{(n+1)} (t)(b - t)^n}{n!} \,\mathrm dt $

SPOILER:
Tricher, c'est mal !
2015-2016 : TS2, Ferney-Voltaire
2016-2017 : HX2 "Tôôôrch", Lycée Louis-le-Grand, Paris
2017-2018 : MP*1, Lycée Louis-le-Grand, Paris

Les admis à LLG 2017-2018 c'est par là ! > https://www.facebook.com/groups/220624875111534/

Monsterkuru
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » dim. juin 26, 2016 2:13 pm

Tu n'oublies pas quelques hypothèses sur f ?
Et puis je ne vois vraiment pas trop l'intérêt de démontrer ça.

Soient $ a $,$ b $,$ c $,et $ d $ des entiers positifs impairs vérifiant $ a<b<c<d $, $ ad=bc $, $ a+d=2^{k} $,$ b+c=2^{m} $ pour deux entiers $ k $ et $ m $. Montrer que $ a=1 $.

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