Exercices de MPSI

[siro]

Allez je me lance ! Mon prof de maths m'a proposé de démontrer cette formule d'analyse :

$ \displaystyle f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)(b-a)^k}{k!} + \int_a^b \frac{f^{(n+1)} (t)(b - t)^n}{n!} \,\mathrm dt $

SPOILER:

Tricher, c'est mal !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité

[darklol]

Allez je me lance ! Mon prof de maths m'a proposé de démontrer cette formule d'analyse :

$ \displaystyle f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)(b-a)^k}{k!} + \int_a^b \frac{f^{(n+1)} (t)(b - t)^n}{n!} \,\mathrm dt $

SPOILER:

Tricher, c'est mal !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité

t'as pas fait de maths depuis longtemps toi :/

[siro]

t'as pas fait de maths depuis longtemps toi :/

Ok, j'avoue, ce lien est plus exhaustif : lien
Ou lui.

(Tu m'as fait douter, en plus, l'espace de deux minutes...)

[darklol]

C'est juste qu'il y a certes un lien entre développement limité et formule(s) de Taylor, mais malheureusement ce lien ne va que dans un sens. Citer l'article wikipédia sur les développements limités n'était donc pas ce qu'il y avait de plus pertinent.

[siro]

Non, en effet... mais ça permet de situer dans un contexte l'exercice (les exo à développements calculatoires un peu bourrins en pré MPSI, ça n'a pas beaucoup d'intérêt SAUF si tu en expliques l'intérêt profond).

[mathophilie]

Tu n'oublies pas quelques hypothèses sur f ?
Et puis je ne vois vraiment pas trop l'intérêt de démontrer ça.

Soient $ a $,$ b $,$ c $,et $ d $ des entiers positifs impairs vérifiant $ a<b<c<d $, $ ad=bc $, $ a+d=2^{k} $,$ b+c=2^{m} $ pour deux entiers $ k $ et $ m $. Montrer que $ a=1 $.

On pourrait avoir des indications, s'il te plaît ?

[SH#T]

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

SPOILER:

On note $ S $ la somme en question.
D'une part, on a $ 2S=\displaystyle{(\sum_{p=1}^{n-1}p^k+(n-p)^k)}+2n^k=n(blabla+2) $ alors $ n\mid 2S $
D'autre part: $ 2S=\displaystyle{\sum_{p=1}^{n} p^k+(n+1-p)^k}=(n+1)(blabla) $, donc $ n+1\mid 2S $
Et puisque ces deux diviseurs sont premiers entre eux, leur produit divise $ 2S $, on écrit finalement: $ \exists q\in\mathbb{N}, S=\dfrac{n(n+1)}{2}q $

[Mykadeau]

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

SPOILER:

On note $ S $ la somme en question.
D'une part, on a $ 2S=\displaystyle{(\sum_{p=1}^{n-1}p^k+(n-p)^k)}+2n^k=n(blabla+2) $ alors $ n\mid 2S $
D'autre part: $ 2S=\displaystyle{\sum_{p=1}^{n} p^k+(n+1-p)^k}=(n+1)(blabla) $, donc $ n+1\mid 2S $
Et puisque ces deux diviseurs sont premiers entre eux, leur produit divise $ 2S $, on écrit finalement: $ \exists q\in\mathbb{N}, S=\dfrac{n(n+1)}{2}q $

Jolie

[Monsterkuru]

Tu n'oublies pas quelques hypothèses sur f ?
Et puis je ne vois vraiment pas trop l'intérêt de démontrer ça.

Soient $ a $,$ b $,$ c $,et $ d $ des entiers positifs impairs vérifiant $ a<b<c<d $, $ ad=bc $, $ a+d=2^{k} $,$ b+c=2^{m} $ pour deux entiers $ k $ et $ m $. Montrer que $ a=1 $.

On pourrait avoir des indications, s'il te plaît ?

SPOILER:

Calculer $ (b-a)(b+a) $

[Zetary]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

[Mykadeau]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

SPOILER:

On peut montrer que la propriété se transmet par le produit et est donc vrai pour tout les nombres composés à condition qu'elle soit vérifié pour les nombres premiers. Mais je ne vois pas comment la prouver pour les nombres premiers.

[Monsterkuru]

SPOILER:

Tiroirs

Deux vieux exos que j'ai trouvés assez cools.

Soit $ s(n) $ la somme des chiffres d'un entier positif $ n $.
Montrer que pour tout entier strictement positif $ n $, on a $ \displaystyle \frac{s(n)}{s(2n)} \le 5 $

Triangle médian du triangle orthique. Cercle de Taylor.

1ère partie : triangle médian du triangle orthique :

On considère un triangle $ ABC $ supposé non rectangle.
Soit $ I $, $ J $, $ K $ les pieds des hauteurs du triangle $ ABC $, issues respectivement de $ A $, $ B $, $ C $.
Soit $ M $ et $ N $ les projetés orthogonaux respectifs de I sur $ (AC) $ et $ (AB) $.
On note $ I_1=S_{AB}(I) $ et $ I_2=S_{AC}(I) $.
1. Démontrer que :
a) $ (MN)//(I_1I_2) $.
b) Les points $ I $, $ K $, $ J $,$ I_2 $ sont alignés.
c) La droite $ (MN) $ contient les milieux respectifs $ J' $, $ K' $ de $ (I,K) $ et $ (I,J) $.

(Pour les notations je ne pense pas qu'il y ait de problèmes mais sait-on jamais : ($ (A,B) $ : Couple de points, appelé bipoint, dont $ A $ est l'origine et $ B $ l’extrémité. $ S_{AB} $ : Symétrie orthogonale par rapport à la droite $ (AB) $).

[symétrie]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

Euh à mon avis niveau difficulté t'abuses un peu là. Tu es sûr que tu as une preuve raisonnablement trouvable et au programme ? Même sur « Exos sympas MP(*) » si y'a pas plus simple que ce que je connais ça serait sans doute abusif.
Cela dit, Mykadeau était bien parti mais il reste encore le gros du chemin…

Édit : visiblement il existe une preuve totalement élémentaire et assez courte, mais bon, je saurai pas dire si elle est trouvable. Donc à la limite pourquoi pas…

[Tornado]

Dans la même gamme, mais en plus simple :

On se donne $ a_0, \dots, a_n $ n+1 entiers rangés dans l'ordre croissant (pas forcément distincts).
Montrer qu'il existe $ i \leq j $ deux indices tels que la somme $ a_i + \dots + a_j $ est divisible par $ n $

[Leo11]

Soit n dans IN*
On cherche à ranger les entiers de 1 à n en k classes telles que pour tout couple d'entiers appartenant à une même classe, aucun des deux entiers du couple ne divise l'autre.
Minorer k au mieux.