Exercices de MPSI

[Gréco-bactrien]

Caractériser les situations d'égalité de :
$ |(a-c)(b-d)|\le |(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)| $ avec $ a,b,c,d $ complexes.

(cette fois il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé )

[Tornado]

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

Ca c'est pas facile facile pour des TS, donc laissez tomber si vous y arrivez pas (c'est un classique de sup, vous le verrez sans doute ce lemme sous-additif). J'ai vu une très belle application de ce résultat récemment dans une conférence

[Jio15]

SPOILER:

C'est quand arg(a-b)+arg(c-d)=arg(a-d)+arg(b-c) [2pi], et ça ça doit se caractériser géométriquement non ?

Tornado : oui, je leur ai dit de faire autre chose. Nous, on l'a eu dans un DS d'informatique pour majorer une certaine probabilité en rapport avec un langage

EDIT :

SPOILER:

Ouep, ça se réécrit arg(b-a)-arg(d-a)=arg(b-c)-arg(d-c) mod pi soit (AD,AB)=(CD,CB) mod pi. Ils sont donc bien cocycliques (comme l'a dit chépuki plus bas)

[Luckyos]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)

C'est parce que tu t'ennuies pendant l'attente des résultats que tu t'amuses à voler la vedette aux TS du topic ?

[Bidoof]

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

Ca c'est pas facile facile pour des TS, donc laissez tomber si vous y arrivez pas (c'est un classique de sup, vous le verrez sans doute ce lemme sous-additif). J'ai vu une très belle application de ce résultat récemment dans une conférence

Par curiosité tu pourrais nous en dire plus s'il te plaît !

[Jio15]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)

C'est parce que tu t'ennuies pendant l'attente des résultats que tu t'amuses à voler la vedette aux TS du topic ?

Oui (et parce que l'exo est intéressant )!
Mais c'est un assez mauvais exercice pour un TS. La formule $ a^n-b^n $ le rend trivial, mais celle-ci n'est a priori pas connue des lycéens. Donc à moins de s'attendre à ce qu'ils aient l'idée de la formule...

En vrai, je trouve ça intéressant tous ces exercices de géométrie postés ici. Beaucoup plus que les exercices de réduction des endomorphismes ou autres dans MP(*).

[Luckyos]

Je pense que pas mal des TS d'ici connaissent la formule, mais je me suis dit que là c'était quand même assez naturel de chercher une factorisation, avec (a-b) qui est divisible par n en plus.

[Gréco-bactrien]

ça doit se caractériser géométriquement non ?

Je crois que les points d'affixes $ a,b,c,d $ sont cocycliques.

[symétrie]

Voici un exercice pas facile.

On admet le fait suivant : si $ a < b $ sont des réels et $ f : [a, b] \to \mathbb{R} $ est continue, alors $ |\int_a^b f| \leq \int_a^b |f| $.

On se donne $ x : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ dérivable telle que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on ait $ x'(t) = x(t - 1) $. On suppose qu'il existe $ M \in \mathbb{R} $ tel que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on ait $ |x(t)| \leq M $. Montrer que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on a $ x(t) = 0 $.

[Tornado]

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

Ca c'est pas facile facile pour des TS, donc laissez tomber si vous y arrivez pas (c'est un classique de sup, vous le verrez sans doute ce lemme sous-additif). J'ai vu une très belle application de ce résultat récemment dans une conférence

Par curiosité tu pourrais nous en dire plus s'il te plaît !

Ouais il s'agit d'un résultat démontré récemment par Hugo Duminil-Copin sur la constante de connectivité du réseau hexagonal.
En gros, le gars cherche à compter le nombres de chemins auto-évitants dans le réseau hexagonal (c'est à dire des chemins qui ne se recoupent pas eux mêmes). Et on peut remarquer, en notant $ c_n $ le nombre de chemins auto-évitants de taille n, que la suite $ (c_n) $ vérifie : $ c_{n+m} \leq c_nc_m $. En effet, un chemin de taille $ n+m $ peut se couper en deux chemins auto-évitants de taille n et m. Du coup, on peut appliquer le lemme sous-additif (un peu modifié mais dans le fond c'est pareil) pour obtenir que $ c_n^{\frac{1}{n}} $ converge vers une certaine constante $ \mu $ appelée constante de connectivité. Et tout l'enjeu est la détermination de cette constante, chose qui a été réalisée en 2011 par ce chercheur qui a montré que $ \mu = \sqrt{2 + \sqrt{2}} $. J'ai eu l'occasion de me faire expliquer la preuve, c'est assez compliqué (mais finalement ce qui est étonnant c'est que même si effectivement j'ai pas compris grand chose à cette preuve, les moyens mis en œuvre semblent finalement élémentaires, dixit mon prof de maths).

Voila pour ceux que ca intéresse la reference du papier : http://arxiv.org/pdf/1007.0575v2.pdf

A noter que dans le cas du réseau carré, la valeur de cette constante est encore inconnue ...