Exercices de MPSI

[donnerwetter]

Un théorème dont j'ai trouvé la preuve super jolie la première fois que je l'ai vue :

Soient $ a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C^* $ tels que pour tout $ x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k. $ Montrer avec des outils de TS que : pour tout entier k compris entre 0 et n, $ a_k=b_k $.

[Fresnel]

Soient $ a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C. $ Montrer avec des outils de TS que pour tout $ x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k. $

?!

[donnerwetter]

Mdr désolé, je corrige

[Mykadeau]

.

[~Syna~]

Un théorème dont j'ai trouvé la preuve super jolie la première fois que je l'ai vue :

Soient $ a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C $ tels que pour tout $ x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k. $ Montrer avec des outils de TS que : pour tout entier k compris entre 0 et n, $ a_k=b_k $.

x non nul du coup.

"pour tout x" donc en particulier des non nuls

[Syl20]

Un théorème dont j'ai trouvé la preuve super jolie la première fois que je l'ai vue :

Soient $ a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C $ tels que pour tout $ x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k. $ Montrer avec des outils de TS que : pour tout entier k compris entre 0 et n, $ a_k=b_k $.

Rapidement :

SPOILER:

On montre par récurrence sur le degré du polynôme que si polynôme est nul alors tous ses coefficients sont nuls

Edit : en fait ma démo inclut une dérivation donc ne marche que dans R... Quoique, je comprends pas la page wiki mais ça semble pouvoir se faire... Pas au niveau Term en tout cas
EDIT 2 :Ah non en fait ça se contourne facilement Désolé de ne pas pouvoir rédiger...

[Jio15]

Un théorème dont j'ai trouvé la preuve super jolie la première fois que je l'ai vue :

Soient $ a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C $ tels que pour tout $ x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k. $ Montrer avec des outils de TS que : pour tout entier k compris entre 0 et n, $ a_k=b_k $.

(Pour pas gâcher le plaisir, je remettrai le contenu de ce message dans ce message dans quelques jours, take a ride on the math train you fellow students ! I don't wanna be the one that ruins your fun )

EDIT :

C'est suffisamment TS ça ?

SPOILER:

On pose $ f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k $, alors $ \forall k, a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=b_k $

Sinon on peut le faire à la main, c'est un peu laborieux mais ça marche

SPOILER:

On suppose $ a_n \neq 0 $ ou $ b_n \neq 0 $ (sinon on diminue n, si ça marche toujours pas on a la fonction nulle donc c'est plié). Cela montre alors que les deux sont non nuls sinon on aurait $ f(x)=o(f(x)) $ en l'infini. En l'infini, f est équivalente à $ a_n x^n $ mais aussi à $ b_n x^n $ donc $ a_n=b_n $. Ensuite on soustrait $ a_n x^n $ de f et on procède comme ça par récurrence forte (forte parce qu'il faut aller chercher le monôme non nul suivant, qui n'est pas forcément de degré n-1).

Et sinon, on peut aussi faire une version un peu plus élégante de ça :

SPOILER:

$ \sum_{k=0}^n (a_k-b_k) x^k $ est la fonction nulle. Si jamais il existait $ k $ tel que $ a_k-b_k \neq 0 $, alors on aurait $ 0=(a_k-b_k)x^k \left ( \sum_{i=0}^n \frac{a_i-b_i}{a_k-b_k} x^{k-i} \right ) $ qui tend vers l'infini en l'infini. Absurde.

Et on peut encore faire moult variantes... (toujours niveau Terminale) (attention, cette solution n'en est pas vraiment une car j'étends l'hypothèse à $ \mathbb{C} $)

SPOILER:

$ \int_0^{2 \pi} f(e^{i \theta}) e^{-i N \theta} d\theta = \sum a_k \int_0^{2 \pi} e^{i (k-N) \theta} d\theta = 2 \pi a_N $, on a donc exprimé $ a_N $ pour tout N à partir d'un calcul qu'on peut faire simplement avec f, ce qui montre que les $ (a_n) $ et les $ (b_n) $ sont les mêmes

( Retenez cette dernière manière d'exprimer les coefficients, ça pourra vous servir à débloquer pas mal d'exos quand vous saurez ce qu'est une série entière )
(Si ça ressemble beaucoup à une transformée de Fourier, c'est normal ; quand beaucoup plus tard vous verrez les fonctions méromorphes, vous comprendrez que cette formule est naturelle : il s'agit simplement de récupérer le résidu de $ \frac{f(x)}{x^{n+1}} $ en 0)

EDIT :

SPOILER:

Les méthodes qu'on peut employer sont beaucoup moins nombreuses si on restreint l'hypothèse $ \forall x \in \mathbb{R} $ à $ \forall x \in \mathbb{N} $ par exemple. Dans ce cas, si on ne veut pas faire les bidouillages de mes solutions 2 et 3, le mieux est de prouver le résultat classique "Si $ (a_1,..a_n) $ sont deux à deux distincts et $ \forall k, P(a_k)=0 $ alors $ (X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n) | P $", d'en déduire qu'un polynôme non nul ne peut pas avoir une infinité de racines (pour des raisons de degré) puis conclure (le polynôme différence a une infinité de racines, les entiers, donc il est nul) et ensuite si on veut être vraiment rigoureux pour repasser des polynômes aux coefficients on peut appliquer les solutions précédentes.

[Syl20]

Jio, ce topic est aussi là pour permettre aux futurs taupins d'aiguiser leur réflexion mathématique et leur rédaction... Est-ce que tu ne pourrais pas plutôt nous donner des pistes plutôt que de balancer des solutions comme ça... Ca me semble plus dans "l'esprit" du topic...

[Jio15]

Si ça ne tenait qu'à moi, je mettrais mon post dans un gros spoiler (qui engloberait les autres spoilers, mais c'est pas possible). Ce que je voulais montrer là, c'est qu'il y avait plein de manières toutes intéressantes de le faire, que ce soit par l'analyse ou par l'arithmétique, je voulais pas tellement apporter une solution en fait :/
Si ça doit se reproduire, j'essaierai d'attendre quelques jours pour proposer des solutions alternatives, histoire d'être sûr que tout le monde a eu le temps d'y réfléchir et que ce soit plus intéressant.
EDIT : d'ailleurs, je vais couper mon message, je remettrai les solutions dans quelques jours dans le message pour ceux que ça intéresse

[donnerwetter]

Rapidement :

SPOILER:

On montre par récurrence sur le degré du polynôme que si polynôme est nul alors tous ses coefficients sont nuls

Edit : en fait ma démo inclut une dérivation donc ne marche que dans R... Quoique, je comprends pas la page wiki mais ça semble pouvoir se faire... Pas au niveau Term en tout cas

Oui il me semble que si tu as f(x)=lambda x^k avec lambda dans C, tu peux écrire f'(x)=lambda k x^(k-1). Dans tous les cas tu peux poser g(x)=f(x)/lambda et te ramener au cas réel je pense. Sinon tu peux détailler ta démo ?

Jio : j'ai pas regardé dans le détail, mais rapidement tes 2 premières démos m'ont plutôt l'air de correspondre à un niveau sup que TS (cf. formule de Taylor et analyse asymptotique qui ne sont pas (plus ?) au programme). En tout cas la démo que j'attendais ne fais pas partie de celles que tu proposes !