Exercices de MPSI

[Zetary]

Soit $ I = [a;b] $ un intervalle de $ \mathbb{R} $ et soit $ f:I \to \mathbb{R} $ continue :

Montrer que la fonction de $ I $ dans $ \mathbb{R} $ : $ g : x \mapsto max_{[a:x]} f $ est la plus petite des fonctions croissantes majorant $ f $, puis qu'elle est continue.

Très brouillon j'imagine :

SPOILER:

On suppose qu'il existe $ h : [a;b] \to \mathbb{R} $ telle qu'il existe $ x_0 \in [a;b] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0) $.
 - Pour tout x dans un intervalle sur lequel f atteint son max et est croissante (cas 1), g(x)=f(x). Comme $ h(x) \geq f(x) $, g(x)=h(x) pour obtenir le plus petit majorant.
 - Pour tout x dans un intervalle ]a';b'[ avec f(a')=g(a') sur lequel f(x)<f(a') (cas 2), g(x)=g(a'). Or d'après ce qui précède h(a')=g(a'). S'il existait $ x_0 \in ]a';b'] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0)=g(a') $ on aurait donc $ h(x_0)<h(a') $ et h décroissante d'où contradiction.
Donc sur I, h=g.

Pour la continuité sur I :
 - pour tout x d'un intervalle du cas 1, g(x)=f(x) donc g est continue par continuité de f ;
 - pour tout x d'un intervalle ]a';b'] du cas 2, g(x)=g(a') donc g est continue par continuité de la fonction constante ;
 - reste à s'intéresser aux points de jonction du cas 1 et du cas 2.
On a donc un intervalle I'=[a';b'] avec f(a')=g(a')=f(b')=g(b') tel que pour tout x dans I', f(x)=<f(a')=f(b'). De plus sur I''=[b';c'], f est croissante et donc f(x)=g(x).
Soient $ u:I' \to \mathbb{R}, v:I'' \to \mathbb{R} $ telles que u(x)=g(x) et v(x)=g(x) sur I' et I'' resp., continues d'après ce qui précède.
Soit $ \epsilon \in I $. Il existe $ \eta_1, \eta_2 \in I $ tels que pour tout x tel que $ \mid x-b' \mid < \eta_1, \mid x-b' \mid < \eta_2 $, $ \mid u(x) - u(b') \mid < \epsilon, \mid v(x) - v(b') \mid < \epsilon $. On prend alors $ min(\eta_1, \eta_2) $ et on remplace u et v par g pour achever le raisonnement.

L'idée du début est bonne, mais j'ai du mal à comprendre la fin, et le fait de montrer auparavant que g est croissante et minimale permet une preuve plus élémentaire de la continuité

[SH#T]

Soit $ I = [a;b] $ un intervalle de $ \mathbb{R} $ et soit $ f:I \to \mathbb{R} $ continue :

Montrer que la fonction de $ I $ dans $ \mathbb{R} $ : $ g : x \mapsto max_{[a:x]} f $ est la plus petite des fonctions croissantes majorant $ f $, puis qu'elle est continue.

SPOILER:

NB: La fonction g est bien définie, car f est continue sur [a,x], donc le max est atteint.
Soit $ h $ une fonction croissante , majorant $ f $.
D'après la définition de $ g $: $ \exists c\in [a,x], g(x)=f(c) $, comme $ h $ est croissante et majore $ f $: $ \forall x\in [a,b], h(x)\geqslant f(c)=g(x) $

On va montrer que $ g $ est continue à droite, la démo de la continuité à gauche est semblable:
Il est aisé de montrer que $ \lim_{x\to c^+} max_{[c,x]} f=f(c) $:
On a $ (\exists m\in [c,x]) \,\, max_{[c,x]} f= f(m) $, et $ x\to c \Rightarrow m\to c $.
En vertu de la continuité de $ f $: $ lim_{x\to c^+} \,max_{[c,x]}=\lim_{m\to c^+} f(m)=f(c) $


Soi $ c\in [a,b[ $:
$ \displaystyle{\lim_{x\to c^+} g(x)=\,\,} $$ max \displaystyle{\left \{ g(c), \lim_{x\to c^+} max_{[c,x]}f \right \}=\,\,} $$ \displaystyle{max\left \{ g(c),f(c) \right \}=g(c) } $

Si la démo est juste, est-ce que quelqu'un n'aurait-il pas d'autres exos à proposer (en arithmétique/analyse...)? Merci

[donnerwetter]

La fonction $ \arctan $ est définie de $ \mathbb{R} $ dans $ ]-\pi/2;\pi/2[ $ comme la fonction réciproque de $ \tan $ ; ainsi pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[, \arctan(\tan(x))=x $.

Pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[ $, vous pouvez trouver sa dérivée en dérivant l'expression $ \tan(\arctan(x))=x $ ou en regardant le spoiler ci-dessous si vous avez la flemme :

SPOILER:

$ \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} $

(a) Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, montrer que $ \cos(2 \arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $.
(b) En déduire une expression de $ \sin(2 \arctan(x)) $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

[Krik]

ainsi pour tout $ x \in \mathbb{R}, \arctan(\tan(x))=x $.

Non. Déjà ça pose problème pour l'ensemble d'arrivée de la fonction arctan.

Et
$ \arctan(\tan(0))= \arctan(\tan(\pi)), donc 0=\pi $?

[donnerwetter]

Merci, c'est corrigé

[Zetary]

Du coup j'en profite en passant pour remettre un petit bout d'exo que j'avais posé sur le topic mpsi :

Calculer $ arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) $ (on pourra aussi trouver une interprétation géométrique du résultat)

[SH#T]

La fonction $ \arctan $ est définie de $ \mathbb{R} $ dans $ ]-\pi/2;\pi/2[ $ comme la fonction réciproque de $ \tan $ ; ainsi pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[, \arctan(\tan(x))=x $.

Pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[ $, vous pouvez trouver sa dérivée en dérivant l'expression $ \tan(\arctan(x))=x $ ou en regardant le spoiler ci-dessous si vous avez la flemme :

SPOILER:

$ \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} $

(a) Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, montrer que $ \cos(2 \arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $.
(b) En déduire une expression de $ \sin(2 \arctan(x)) $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

SPOILER:

(a)On pose $ \forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in ]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, x=tan(y) $.
On a alors $ cos(2arctan(x))=cos(2y)=\frac{1-tan^2(y)}{1+tan^2(y)}=\frac{1-x^2}{1+x^2} $

(b)
▪On a $ tan(2arctan(x))=\frac{2tan(arctan(x))}{1-(tan(arctan(x))^2}=\frac{2x}{1-x^2} $ et $ cos(2arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $
Donc $ sin(2arctan(x))=\frac{2x}{1-x^2}\times \frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2} $

▪On a aussi $ cos(2arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $ donc $ (cos(2arctan(x))'=\frac{-2}{1+x^2}sin(2arctan(x))=\frac{-4x}{(x^2+1)^2} $ donc $ sin(2arctan(x))=\frac{2x}{1+x^2} $

[preparationnaire 98]

je serai bientôt en première année prépa et je suis entrain de réviser les premiers chapitres mais je suis bloquée dans un exercice qui demande d exprimer ch(x)^n et sh(x)^n en fonction de ch(px) et sh(px) en fait je me suis bloquée dans sh(x)^n j ai besoin de votre aide svp

[Zetary]

Un moyen d'y arriver est de revenir à la formule de De Moivre en posant x = i*y, puisque ch(it)=cos(t) et sh(it)=sin(t)
Edit : En fait je ne comprends pas ce que tu veux dire avec n et p : est-ce qu'il faut exprimer ch^n(x) en fonction de ch(0x) ch(1x),...ch(nx) ? dans ce cas là c'est une autre méthode

[U46406]

P98, tu t'ennuies à Nouméa, dis donc ?

Tu as lu les conseils de pré-rentrée ?
et les exercices de transition entre la classe de Terminale S et les classes de MPSI et PCSI du lycée LLG ?