1) On traite le cas $ f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R} $,
On pose, $ h(n)=sup f([n,n+1]) $, on relie h(n) et h(n+1) par des droites pour avoir une fonction h affine par morceaux dont le coeff directeur en $ n\leqslant x<n+1 $ est $ h(n+1)-h(n) $.
On a $ h_d'(0)= h(1)-h(0) $. On définit $ n\leqslant x <n+1,i(x)=sup_{k\in [[0,n+1]]}h'_d(k) $. On a i une fonction croissante, et donc on peut la majorer par une fonction continue et affine par morceaux g.
Soit G la primitive de g avec $ G(0)=h(0) $, on a $ (G(x)-h(x))'\geqslant 0 $ et $ G(0)=h(0) $, donc $ G\geqslant h $, et puisque $ h \geqslant f $, alors G $ \geqslant f $, avec G dérivable.
Le passage donc on peut la majorer par une fonction continue et affine par morceaux g, nous permet peut-être de reprendre le même processus avec g', et donc on peut montrer qu'il existe une fonction C^n majorant f ?
