pour le caractère ouvert : si on travaille plutôt avec des endomorphismes
Lemme : il existe x_o£E tels que (x_o,f(x_o) ......f^{n-1}(x_o)) est une base de E <=> X_f = TT_f
=> est evidente
<== fait recours au résultat suivant : on note TT_x,f le polynome minimale qui engendre l'idéal
{P£K[X]/ P(f)(x) =0} alors il existe e£E/{0} tels que TT_e,f = TT_f
pour y fixé ,l'application
g_y : L(E) -> C
f -> det_{base}(y,f(y).....,f^{n-1}(y)) est continue
L'ensemble qui nous interesse est U(y£E) (g_y^{-1}(C*)) qui est un ouvert comme réunion d'ouvert .
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Quelqu'un a un exo a proposer ?
Jen lance deux:
Trouver les morphismes continus de (SO2(R),x) dans (R*,x)
Soit f un polynome tel que son application associée soit bijective de R dans R.
On se donne A B symetriques réelles telles que f(A)=f(B). Mq A=B.
Jen lance deux:
Trouver les morphismes continus de (SO2(R),x) dans (R*,x)
Soit f un polynome tel que son application associée soit bijective de R dans R.
On se donne A B symetriques réelles telles que f(A)=f(B). Mq A=B.
Re: Exos sympas MP(*)
Effectivement, je suis allé un peu trop vite en besogne ; on peut adapter ma preuve incomplète comme suit.Mathysique a écrit : ↑01 févr. 2017 19:33Pour la connexité par arc, j'ai bien peur que vous démonstration soit fausse (mais je peux me tromper après tout)
Considérons le discriminant des polynômes caractéristiques des matrices n x n (le discriminant d'un polynôme à racines r_1,...,r_n est le produit des facteurs r_i-r_j pour i différent de j). Le discriminant disc(P) d'un polynôme P étant un polynôme symétrique en les racines de P, on peut le réécrire comme un polynôme symétrique en les coefficients de P.
En particulier, si M est une matrice n x n, on note disc(M) le discriminant du polynôme caractéristique de M. Alors disc(M) est un polynôme en les coefficients de M, et disc(M) = 0 si et seulement si le polynôme caractéristique de M est scindé à racines simples.
On considère alors la matrice N, diagonale, dont les coefficients diagonaux sont 1,2,...,n, de sorte que disc(N) soit non nul. Partant d'une matrice M quelconque, on remarque que le polynôme $ P(X) = \mathrm{disc}(X N + (1-X) M) $ est non nul. Par conséquent, il existe un $ \varepsilon > 0 $ tel que $ P(x) = \mathrm{disc}(x N + (1-x) M) \neq 0 $ dès lors que $ 0 < x < \varepsilon $.
Si on note A l'ensemble des matrices dont les polynômes caractéristique et minimal sont égaux, et si $ M \in A $, notons que toute matrice de discriminant non nul est dans A, de sorte que le chemin $ \{x N + (1-x) M \mid 0 \leq x \leq \varepsilon/2\} $ est bien inclus dans A. Il relie M à une matrice de discriminant non nul. L'ensemble des matrices de discriminant non nul étant lui-même connexe par arcs, l'ensemble A l'est aussi.
Re: Exos sympas MP(*)
Salut, en voici un fun : on considère $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : $ A^tAA^tAA=I_n $. Déterminer $ A $.
mais effectivement si Re: Exos sympas MP(*)
Mais du coup le premier argument (du polynôme annulateur) ne marche pas ? Ou alors il faudrait détailler un peu plus ? (Mais dans ce cas autant passer par le théorème spectral en effet)
MVA
Re: Exos sympas MP(*)
Je dirai qu'une des précautions à prendre c'est de
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
On remarque que la réponse donnée reste valable si $A$ vérifie $(A^tA)^{m}A=I_n$ avec $m \in \mathbb{N}^*$, notamment, le cas $m=1$ pour lequel: si $A^tAA=I_n$ alors $A=I_n$.
Une question similaire plus générale: Soit $(n,p,q)\in (\mathbb{N}^*)^3$ , existe -t- il des matrices carrées réelles d'ordre $n$, $A$ tel que : et $(A^tA)^pA^q=I_n$ ?
Une question similaire plus générale: Soit $(n,p,q)\in (\mathbb{N}^*)^3$ , existe -t- il des matrices carrées réelles d'ordre $n$, $A$ tel que : et $(A^tA)^pA^q=I_n$ ?
Re: Exos sympas MP(*)
J'aurais envie de dire que $ A = I_n $ mais je ne vois pas trop comment faire, j'ai trouvé quelques relations mais rien de plus ...
MVA