Matrice idempotente rg=tr

[GaussX]

Bonjour, est-ce que c'est possible de démontrer avec les outils de sup l'assertion suivante:
A idempotente => rg(A)=tr(A)
J'ai essayé mais je ne suis parvenu a aucun résultat.
Une aide?
Merci d'avance

[Almar]

Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs

[pierrotdu18]

Ma réponse est un peu hors-sujet mais si tu as fait un peu de hors programme, en particulier si vous avez fait une partie du chapitre sur la diagonalisation des matrices, il est possible de dire que X²-1 est un polynôme scindé à racines simples qui annule A et donc, A est diagonalisable et ses valeurs propres sont soit 0 soit 1. Le résultat en découle immédiatement

[JeanN]

Ma réponse est un peu hors-sujet mais si tu as fait un peu de hors programme, en particulier si vous avez fait une partie du chapitre sur la diagonalisation des matrices, il est possible de dire que X²-1 est un polynôme scindé à racines simples qui annule A et donc, A est diagonalisable et ses valeurs propres sont soit 0 soit 1. Le résultat en découle immédiatement

Avant d'utiliser du hors programme, je suggère à l'auteur de la question de comprendre la démonstration au programme (en mpsi en tout cas)

[brank]

Ce qui est génial c'est que la trace ne change pas quand on change de base et en remarquant que le noyau et l'image de A sont en somme directe on construit une bonne base qui donne le résultat.

[Peria]

Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs

Idempotent n'implique pas projo mais oui l'idée est la même

[JeanN]

Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs

Idempotent n'implique pas projo mais oui l'idée est la même

Et c'est quoi la différence entre les deux ?
https://en.wikipedia.org/wiki/Idempotent_matrix

[Peria]

Il n'y a pas la linéarité en plus pour un projo ?

Edit : j'avais zappé "matrice" désolé (ca m'apprendra à lire le titre en diagonale)