Les dattes à Dattier
Re: Les dattes à Dattier
Je ne vais que très rarement sur lesmathematiques et l'exo que j'ai posté dans le lien précédent est le seul que j'ai fait parmi les tiens.
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
Ponts
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Re: Les dattes à Dattier
Une variante de l'énoncé 24, qui donne peut-être une indication, mais qui est assez sympa aussi :
SPOILER:
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
Re: Les dattes à Dattier
Pour ceux qui sont intéressés :
énoncé 25 : calculs exacts avec des parties entières 4,5
Soit $ a\in\mathbb N^* $, montrer que $ E(\frac{a+1}{2})+...+E(\frac{a + 2^k}{2^{k+1}})=a $
Pour l'explication du résultat :
énoncé 25 : calculs exacts avec des parties entières 4,5
Soit $ a\in\mathbb N^* $, montrer que $ E(\frac{a+1}{2})+...+E(\frac{a + 2^k}{2^{k+1}})=a $
Pour l'explication du résultat :
SPOILER:
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Re: Les dattes à Dattier
Salut,
Pour l'énoncé 7 :
En espérant que ça relance un peu le topic, que je trouve fort sympathique.
Pour l'énoncé 7 :
SPOILER:
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2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
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Re: Les dattes à Dattier
Bonjour !
Enoncé 28 :
Je n'ai pas LateX mais je vais essayer d'etre clair :
Integrale de a à b de f(x)dx = Integrale de a à b de f(a+b-x)dx
Par les formules de trigo on obtient la meme chose avec le contenu du Arctan inversé.
Et Arctan(x) + Arctan(1/x)=pi/2
En appelant A l'integrale recherchee, on obtient :
2*A=Integrale de 0 à pi/2 de la constante pi/2
D'où A = Pi^2/8 !
C'est en fait vrai en remplaçant le 1 par n'importe quelle constante si je ne me suis pas trompé ?
Enoncé 28 :
Je n'ai pas LateX mais je vais essayer d'etre clair :
Integrale de a à b de f(x)dx = Integrale de a à b de f(a+b-x)dx
Par les formules de trigo on obtient la meme chose avec le contenu du Arctan inversé.
Et Arctan(x) + Arctan(1/x)=pi/2
En appelant A l'integrale recherchee, on obtient :
2*A=Integrale de 0 à pi/2 de la constante pi/2
D'où A = Pi^2/8 !
C'est en fait vrai en remplaçant le 1 par n'importe quelle constante si je ne me suis pas trompé ?
2014-2015 MPSI Lycée Descartes
2015-2017 MP* Lycée Descartes
2017- ??? Centrale Paris
2015-2017 MP* Lycée Descartes
2017- ??? Centrale Paris
Re: Les dattes à Dattier
Je croyais l'avoir précisé avec mes a et b, mais il faut poser x=pi/2-u !
2014-2015 MPSI Lycée Descartes
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2017- ??? Centrale Paris
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Re: Les dattes à Dattier
Bonjour
Pour l'énoncé 29 :
Pour l'énoncé 29 :
SPOILER:
Re: Les dattes à Dattier
Le fait que $ (g_n(x))_n $ soit bornée pour tout x me permet par extraction diagonale de faire converger simplement sur $ \mathbb{Q} $ une sous-suite de $ (g_n) $.
Ensuite je suis allé trop vite. Je dirais plutôt que sur un segment $ S $, les $ (g_n) $ sont toutes lipschitziennes avec une constante de Lipschitz uniforme (en appliquant l'inégalité des pentes). A partir de là, on peut en conclure (exo classique des Cassini, "théorème d'Ascoli") que la suite $ (g_n) $ converge uniformément sur $ S\cap \mathbb{ Q} $. La limite se prolonge en une fonction continue par le théorème de la double limite.
Il suffit alors de constater que $ (g_n) $ converge (uniformément sur $ S $) vers ce prolongement
Ensuite je suis allé trop vite. Je dirais plutôt que sur un segment $ S $, les $ (g_n) $ sont toutes lipschitziennes avec une constante de Lipschitz uniforme (en appliquant l'inégalité des pentes). A partir de là, on peut en conclure (exo classique des Cassini, "théorème d'Ascoli") que la suite $ (g_n) $ converge uniformément sur $ S\cap \mathbb{ Q} $. La limite se prolonge en une fonction continue par le théorème de la double limite.
Il suffit alors de constater que $ (g_n) $ converge (uniformément sur $ S $) vers ce prolongement
Re: Les dattes à Dattier
énoncé 31
SPOILER:
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
Ponts
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Re: Les dattes à Dattier
Bonne initiative merci beaucoup !