Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
à priori il y a au moins tout une famille de transformations A qui sont solutions de cet ensemble (je les donne dans la balise spoiler) après je sais pas encore si se sont les seules.
SPOILER:
L3 Physique/Math ENS Lyon
Re: Exos sympas MP(*)
Déjà toute solution est diagonalisable, ce qui restreint un peu les recherches
Re: Exos sympas MP(*)
Bon un exo rigolo.
Une matrice M de Mn(IK) est dite magique si :
Il existe une constante D telle que :
Pour toute les lignes de M , la somme des coefficients de M sur cette ligne vaut D
Même chose pour les colonnes de M
La somme des termes diagonaux vaut aussi D
La somme de termes de l'autre diagonale vaut aussi D (les m(n-i+1,i).
Montrer que les matrices magiques forment un EV dont on déterminera une base.
Une matrice M de Mn(IK) est dite magique si :
Il existe une constante D telle que :
Pour toute les lignes de M , la somme des coefficients de M sur cette ligne vaut D
Même chose pour les colonnes de M
La somme des termes diagonaux vaut aussi D
La somme de termes de l'autre diagonale vaut aussi D (les m(n-i+1,i).
Montrer que les matrices magiques forment un EV dont on déterminera une base.
Re: Exos sympas MP(*)
Soient (a,b) deux nombres complexes
On note Ma et Mb respectivement des matrices magiques de Mn(C) associées à a et à b. (On peut le faire en effet étant donné un nombre d il suffit de considérer la matrice remplie de 1 que multiplie le scalaire d/n)
Il est acquis, par les définitions de l'addition de matrices et de la multiplication de celles ci par un scalaire, par commutativité de l'addition et distributivité de la multiplication dans C, que l'ensemble des matrices magiques est stable par combinaisons linéaires. C'est donc un sev de Mn(C).
Par contre je peux seulement conjecturer dur la dimension de cet espace qui me semble être engendré uniquement par la matrice remplie de 1 ce serait donc un espace de dimension 1 dont cette matrice est une base.
Je ne sais cependant pas comment le prouver... :/
Si qqun pouvait m'éclairer !
On note Ma et Mb respectivement des matrices magiques de Mn(C) associées à a et à b. (On peut le faire en effet étant donné un nombre d il suffit de considérer la matrice remplie de 1 que multiplie le scalaire d/n)
Il est acquis, par les définitions de l'addition de matrices et de la multiplication de celles ci par un scalaire, par commutativité de l'addition et distributivité de la multiplication dans C, que l'ensemble des matrices magiques est stable par combinaisons linéaires. C'est donc un sev de Mn(C).
Par contre je peux seulement conjecturer dur la dimension de cet espace qui me semble être engendré uniquement par la matrice remplie de 1 ce serait donc un espace de dimension 1 dont cette matrice est une base.
Je ne sais cependant pas comment le prouver... :/
Si qqun pouvait m'éclairer !
Re: Exos sympas MP(*)
Sauf erreur, c'est faux.
J'avais regardé cet exercice malheureusement je n'ai pas gardé mes notes.
De mémoire, (en supposant n>2) j'avais regardé, partant d'une matrice magique de dimension n, quelles étaient les conditions sur la matrice de dimension (n-2) "incluse" dans la première matrice (en gros la matrice formée en "enlevant les bords" de la matrice initiale), pour que la première puisse être effectivement magique (et alors quelles valeurs donner aux bords).
C'était assez fastidieux mais de mémoire ca permettait d'exhiber une base.
J'avais regardé cet exercice malheureusement je n'ai pas gardé mes notes.
De mémoire, (en supposant n>2) j'avais regardé, partant d'une matrice magique de dimension n, quelles étaient les conditions sur la matrice de dimension (n-2) "incluse" dans la première matrice (en gros la matrice formée en "enlevant les bords" de la matrice initiale), pour que la première puisse être effectivement magique (et alors quelles valeurs donner aux bords).
C'était assez fastidieux mais de mémoire ca permettait d'exhiber une base.
Re: Exos sympas MP(*)
Oui c'est évident que je suis allé trop vite et je crois finalement que c'est bien trop compliqué pour moi haha, merci en tout cas !
Re: Exos sympas MP(*)
Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note $ A^\mathrm{H} $ le conjugué de la transposée de $ A $. J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.
Décomposition de Schur complexe
Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer qu'il existe une matrice orthonormale $ P $ (ie tel que $ P^\mathrm{H}P=I $) tel que $ U=P^\mathrm{H}AP $ soit une matrice triangulaire supérieure.
Conséquences
Décomposition de Schur complexe
Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer qu'il existe une matrice orthonormale $ P $ (ie tel que $ P^\mathrm{H}P=I $) tel que $ U=P^\mathrm{H}AP $ soit une matrice triangulaire supérieure.
Conséquences
- Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ hermitienne ($ A^\mathrm{H}=A $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
- Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ normale ($ A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Exos sympas MP(*)
Non il n'y a aucun produit hermitien au programme
Re: Exos sympas MP(*)
Bon je le tente.matmeca_mcf1 a écrit : ↑07 mai 2018 22:48Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note $ A^\mathrm{H} $ le conjugué de la transposée de $ A $. J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.
Décomposition de Schur complexe
Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer qu'il existe une matrice orthonormale $ P $ (ie tel que $ P^\mathrm{H}P=I $) tel que $ U=P^\mathrm{H}AP $ soit une matrice triangulaire supérieure.
Conséquences
- Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ hermitienne ($ A^\mathrm{H}=A $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
- Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ normale ($ A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale.
Montrons par récurrence par n que qu'on dispose d'une base de trigonalisation de $A$ pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
Initialisation: n=1 ok.
Hérédité:
Soit $A\in\mathcal M_{n+1}(\mathbb C)$.
On dispose de $\lambda\in \mathbb C$ tel que $Ker(A-\lambda I_{n+1})\neq {0}$,
donc on dispose d'une base $(E_1, ... E_{n+1})$ telle que $A(E_1) = \lambda E_1$.
Ainsi, dans cette base, si $P=(E_1|...|E_{n+1}), A = P
\begin{pmatrix}
\lambda & * \\
0_{n,1} & A'
\end{pmatrix}P^{-1}$
or on dispose de $E'_1,...,E'_n$ une base de trigonalisation de $A'$.
alors $B_1,...B_{n+1}$, telle que $B_1=E_1$ et $B_i = P\begin{pmatrix} 0 \\ E'_i \end{pmatrix}, \forall i \in \{2,...,n+1\}$, est une base de trigonalisation de A.
Conclusion : Par récurrence A est trigonalisable (Ce résultat est au programme mais j'ai préféré le redémontrer).
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Montrons l'existence de $P\in GL_n(\mathbb C)$ telle que $P^HP=I_n$ et $P^HAP$ soit triangulaire supérieure.
On pose $||X||=\sqrt{X^HX}$ pour tout $X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)$
On dispose de $E_1,...E_n$ une base de trigonalisation de A on défini alors (de manière analogue à gramm-schmidt dans $\mathbb R$)
$B_1 = \frac{E_1}{||E_1||}$
$B_2 = \frac{E_2 - (B_1^HE_2)B_1}{||E_2 - (B_1^HE_2)B_1||}$
....
$B_n = \frac{E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 }{||E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 ||}$
Alors en posant $P = (B_1|...|B_n)$ on a bien $P^HP=(^t\bar{B_i}B_j)_{i,j}=I_n$ et $A(B_i)\in Vect(B_1,...,B_i)$ donc $P^HAP$ est triangulaire supérieure.
1/
Si $ A=PUP^\mathrm{H} $ est hermitienne avec $U$ triangulaire supérieure.
Alors $U^H=U$ donc $U$ est diagonale et les éléments diagonaux sont réels.
Nothing happened.
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L3 Maths-Info
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Re: Exos sympas MP(*)
je me trompe ou c'est la Méthode de Householder ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .