Bijection.

[Bidoof]

Salut à tous.

S'il existe \( g : Y \mapsto X \) et \( f : X \mapsto Y \) tel que \( g\circ f = Id_{X} \) et \( f \circ g = Id_{Y} \) alors \( f \) est bijective.

En fait dans ma démo je tiens pas compte de \( g\circ f = Id_{X} \). Peut-on supprimer cette hypothèse ? ça me semble bizarre, je cherche un contre exemple. Mais peut-être serait-il plus sage de réviser ma démo.
Puisque \( \forall y \in Y, f(g(y))=y \) alors \( \forall y \in Y, \exists ! x = g(y) \in X ; f(x)=y \).

[darklol]

Contre-exemple: \( X=Y=C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \). \( F = f \longmapsto f' \), \( G = f \longmapsto \left( x \longmapsto \int_0^x f(t) dt \right) \).

\( F \circ G = \text{id} \), mais \( F(1) = F(2) \) donc \( F \) n'est pas injective. L'erreur dans ta preuve est l'unicité de ton \( x \).

[darklol]

Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si \( X=Y=\mathbb{R} \) et \( f \) et \( g \) continues. Et contre-exemple sans la continuité.

[Bidoof]

Super ! C'est vraiment une réponse qui m'aide, c'est très souvent le cas lorsque vous me répondez, vous avez un don. Et je suis sur plusieurs forum, je lis beaucoup de réponses qui ne m'aide pas.
Demain je vais faire les exercices, je suis impatient.

[oty20]

jolie question darklol , premiere idée : le probleme est clairement l'injectivité de f soient x, y tel que f(x)=f(y) , s'il existe a et b tel que g(a)=x et g(b)=y alors c'est fini , sinon g(R) ne contient pas x ou y , sans perdre de généralité on a pour tout z soit g(z) < min(x,y) ou g(z) > max(x,y) due au théorème de valeur intermédiaire ... j'essayerai de m'y penché sérieusement plus-tard , j'ai trop sommeil , bonne nuit a tous .

[Bidoof]

Oty20 utilise des spoilers s'il te plaît. (Je ne vais pas lire mais quand même).
Je suis en train de travailler sur le sujet, j'ai la preuve de l'exo je cherche le contre exemple.

[Bidoof]

Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si \( X=Y=\mathbb{R} \) et \( f \) et \( g \) continues. Et contre-exemple sans la continuité.

Exercice :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
Je suppose que \( f\circ g = id_{\mathbb{R}} \)
- \( g \) est injective donc strictement monotone.
Et puisqu'elle est continue alors \( Im(g) = ]lim_{-\infty} g ; lim_{+\infty} g[ \)
- \( f \) est surjective.
\( f \) est injective sur \( Im(g) \) donc il suffit de montrer qu'il s'agit de \( \mathbb{R} \)
Supposons qu'il l'une des deux bornes soit finie notée \( l \) alors par symétrique par rapport à la première bissectrice, \( f(l)=+\infty \), c'est absurde car \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \) donc \( f(l) \) est un nombre réel.

Contre exemple :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
\( f(x) = \sqrt{x}, x \ge 0 \) et \( f(x) = -1 - \sqrt{-x}, x < 0 \) elle n'est pas surjective \( ]0;-1[ \) non atteint.
\( g(x) = x^{2}, x \ge 0 \) et \( g(x) = -(x+1)^{2}, x < 0 \)
Et \( g(f(x))=x \)

[U46406]

à Bidoof :
il existe des balises adaptées, à savoir, la balise spoiler (comme son nom l'indique) :

SPOILER: Afficher

exemple

[Bidoof]

Je sais mais elle ne se déroule pas sur mon ordi.

[U46406]

Chez moi, ça marche plus ou moins bien, j'ouvre donc un ticket de bug :
viewtopic.php?f=4&p=892281#p892281

[oty20]

@bidoof es tu sur de ta démonstration? bon j'ai complété ma solution , je la posterai si besoin suffit de demander Bonne fin de soiré

[Bidoof]

@oty20 : J'y crois ou alors j'ai raté quelque chose.

[Bidoof]

EDIT.

[darklol]

Le début de ta preuve se résume avec un théorème de MPSI: une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone (l'injectivité de \( f \) étant triviale, c'est le même argument que pour montrer que 0 n'appartient pas à ton ensemble \( F(T) \)). Maintenant la question était de montrer que \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) est bijective, pas seulement qu'elle réalise une bijection sur son image (ça c'est parfaitement trivial comme je l'ai dit vu que ça résulte automatiquement de l'injectivité de \( f \), que \( f \) soit continue ou non). Donc tu n'as toujours pas montré la surjectivité de \( f \) qui est quand même tout le problème.

[Bidoof]

Ah oui je vois je vais refaire l'exercice demain (de toute façon j'avais pas fini).