Bijection.

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Bijection.

Message par Bidoof » 13 sept. 2017 16:36

Salut à tous.

S'il existe $ g : Y \mapsto X $ et $ f : X \mapsto Y $ tel que $ g\circ f = Id_{X} $ et $ f \circ g = Id_{Y} $ alors $ f $ est bijective.

En fait dans ma démo je tiens pas compte de $ g\circ f = Id_{X} $. Peut-on supprimer cette hypothèse ? ça me semble bizarre, je cherche un contre exemple. Mais peut-être serait-il plus sage de réviser ma démo.
Puisque $ \forall y \in Y, f(g(y))=y $ alors $ \forall y \in Y, \exists ! x = g(y) \in X ; f(x)=y $.

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Re: Bijection.

Message par darklol » 13 sept. 2017 16:59

Contre-exemple: $ X=Y=C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $. $ F = f \longmapsto f' $, $ G = f \longmapsto \left( x \longmapsto \int_0^x f(t) dt \right) $.

$ F \circ G = \text{id} $, mais $ F(1) = F(2) $ donc $ F $ n'est pas injective. L'erreur dans ta preuve est l'unicité de ton $ x $.
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Re: Bijection.

Message par darklol » 13 sept. 2017 17:04

Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si $ X=Y=\mathbb{R} $ et $ f $ et $ g $ continues. Et contre-exemple sans la continuité.
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Re: Bijection.

Message par Bidoof » 13 sept. 2017 20:46

Super ! C'est vraiment une réponse qui m'aide, c'est très souvent le cas lorsque vous me répondez, vous avez un don. Et je suis sur plusieurs forum, je lis beaucoup de réponses qui ne m'aide pas.
Demain je vais faire les exercices, je suis impatient.

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Re: Bijection.

Message par oty20 » 13 sept. 2017 22:54

jolie question darklol , premiere idée : le probleme est clairement l'injectivité de f soient x, y tel que f(x)=f(y) , s'il existe a et b tel que g(a)=x et g(b)=y alors c'est fini , sinon g(R) ne contient pas x ou y , sans perdre de généralité on a pour tout z soit g(z) < min(x,y) ou g(z) > max(x,y) due au théorème de valeur intermédiaire ... j'essayerai de m'y penché sérieusement plus-tard , j'ai trop sommeil , bonne nuit a tous .
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Re: Bijection.

Message par Bidoof » 14 sept. 2017 18:01

Oty20 utilise des spoilers s'il te plaît. (Je ne vais pas lire mais quand même).
Je suis en train de travailler sur le sujet, j'ai la preuve de l'exo je cherche le contre exemple.

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Re: Bijection.

Message par Bidoof » 14 sept. 2017 18:08

darklol a écrit :
13 sept. 2017 17:04
Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si $ X=Y=\mathbb{R} $ et $ f $ et $ g $ continues. Et contre-exemple sans la continuité.
Exercice :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
Je suppose que $ f\circ g = id_{\mathbb{R}} $
- $ g $ est injective donc strictement monotone.
Et puisqu'elle est continue alors $ Im(g) = ]lim_{-\infty} g ; lim_{+\infty} g[ $
- $ f $ est surjective.
$ f $ est injective sur $ Im(g) $ donc il suffit de montrer qu'il s'agit de $ \mathbb{R} $
Supposons qu'il l'une des deux bornes soit finie notée $ l $ alors par symétrique par rapport à la première bissectrice, $ f(l)=+\infty $, c'est absurde car $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ donc $ f(l) $ est un nombre réel.

Contre exemple :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
$ f(x) = \sqrt{x}, x \ge 0 $ et $ f(x) = -1 - \sqrt{-x}, x < 0 $ elle n'est pas surjective $ ]0;-1[ $ non atteint.
$ g(x) = x^{2}, x \ge 0 $ et $ g(x) = -(x+1)^{2}, x < 0 $
Et $ g(f(x))=x $
Dernière modification par Bidoof le 16 sept. 2017 09:03, modifié 7 fois.

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Re: Bijection - ne pas spoiler ...

Message par U46406 » 14 sept. 2017 18:38

à Bidoof :
il existe des balises adaptées, à savoir, la balise spoiler (comme son nom l'indique) :
SPOILER:
exemple
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

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Re: Bijection.

Message par Bidoof » 14 sept. 2017 18:50

Je sais mais elle ne se déroule pas sur mon ordi.

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Re: spoiler

Message par U46406 » 14 sept. 2017 19:06

Chez moi, ça marche plus ou moins bien, j'ouvre donc un ticket de bug :mrgreen: :
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 81#p892281
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