Bijection.
Bijection.
Salut à tous.
S'il existe $ g : Y \mapsto X $ et $ f : X \mapsto Y $ tel que $ g\circ f = Id_{X} $ et $ f \circ g = Id_{Y} $ alors $ f $ est bijective.
En fait dans ma démo je tiens pas compte de $ g\circ f = Id_{X} $. Peut-on supprimer cette hypothèse ? ça me semble bizarre, je cherche un contre exemple. Mais peut-être serait-il plus sage de réviser ma démo.
Puisque $ \forall y \in Y, f(g(y))=y $ alors $ \forall y \in Y, \exists ! x = g(y) \in X ; f(x)=y $.
S'il existe $ g : Y \mapsto X $ et $ f : X \mapsto Y $ tel que $ g\circ f = Id_{X} $ et $ f \circ g = Id_{Y} $ alors $ f $ est bijective.
En fait dans ma démo je tiens pas compte de $ g\circ f = Id_{X} $. Peut-on supprimer cette hypothèse ? ça me semble bizarre, je cherche un contre exemple. Mais peut-être serait-il plus sage de réviser ma démo.
Puisque $ \forall y \in Y, f(g(y))=y $ alors $ \forall y \in Y, \exists ! x = g(y) \in X ; f(x)=y $.
Re: Bijection.
Contre-exemple: $ X=Y=C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $. $ F = f \longmapsto f' $, $ G = f \longmapsto \left( x \longmapsto \int_0^x f(t) dt \right) $.
$ F \circ G = \text{id} $, mais $ F(1) = F(2) $ donc $ F $ n'est pas injective. L'erreur dans ta preuve est l'unicité de ton $ x $.
$ F \circ G = \text{id} $, mais $ F(1) = F(2) $ donc $ F $ n'est pas injective. L'erreur dans ta preuve est l'unicité de ton $ x $.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Bijection.
Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si $ X=Y=\mathbb{R} $ et $ f $ et $ g $ continues. Et contre-exemple sans la continuité.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Bijection.
Super ! C'est vraiment une réponse qui m'aide, c'est très souvent le cas lorsque vous me répondez, vous avez un don. Et je suis sur plusieurs forum, je lis beaucoup de réponses qui ne m'aide pas.
Demain je vais faire les exercices, je suis impatient.
Demain je vais faire les exercices, je suis impatient.
Re: Bijection.
jolie question darklol , premiere idée : le probleme est clairement l'injectivité de f soient x, y tel que f(x)=f(y) , s'il existe a et b tel que g(a)=x et g(b)=y alors c'est fini , sinon g(R) ne contient pas x ou y , sans perdre de généralité on a pour tout z soit g(z) < min(x,y) ou g(z) > max(x,y) due au théorème de valeur intermédiaire ... j'essayerai de m'y penché sérieusement plus-tard , j'ai trop sommeil , bonne nuit a tous .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Bijection.
Oty20 utilise des spoilers s'il te plaît. (Je ne vais pas lire mais quand même).
Je suis en train de travailler sur le sujet, j'ai la preuve de l'exo je cherche le contre exemple.
Je suis en train de travailler sur le sujet, j'ai la preuve de l'exo je cherche le contre exemple.
Re: Bijection.
Exercice :
********************************************************** SPOILER **************************************************************
Je suppose que $ f\circ g = id_{\mathbb{R}} $
- $ g $ est injective donc strictement monotone.
Et puisqu'elle est continue alors $ Im(g) = ]lim_{-\infty} g ; lim_{+\infty} g[ $
- $ f $ est surjective.
$ f $ est injective sur $ Im(g) $ donc il suffit de montrer qu'il s'agit de $ \mathbb{R} $
Supposons qu'il l'une des deux bornes soit finie notée $ l $ alors par symétrique par rapport à la première bissectrice, $ f(l)=+\infty $, c'est absurde car $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ donc $ f(l) $ est un nombre réel.
Contre exemple :
********************************************************** SPOILER **************************************************************
$ f(x) = \sqrt{x}, x \ge 0 $ et $ f(x) = -1 - \sqrt{-x}, x < 0 $ elle n'est pas surjective $ ]0;-1[ $ non atteint.
$ g(x) = x^{2}, x \ge 0 $ et $ g(x) = -(x+1)^{2}, x < 0 $
Et $ g(f(x))=x $
Dernière modification par Bidoof le 16 sept. 2017 09:03, modifié 7 fois.
Re: Bijection - ne pas spoiler ...
à Bidoof :
il existe des balises adaptées, à savoir, la balise spoiler (comme son nom l'indique) :
il existe des balises adaptées, à savoir, la balise spoiler (comme son nom l'indique) :
SPOILER:
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait)
Re: Bijection.
Je sais mais elle ne se déroule pas sur mon ordi.
Re: spoiler
Chez moi, ça marche plus ou moins bien, j'ouvre donc un ticket de bug :
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 81#p892281
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 81#p892281
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait)