Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. nov. 11, 2017 11:46 pm

-2 : polynôme à la mod tombé par VAJ

-5 : série circulaire

-6 : polynômes composites

-9 : polynômes et permutations tombé par VAJ

-10 : Incoryable mais vrai


-11 : Critère de permutabilité tombé par VAJ

-12 : Diffie-Helmann par les polynômes


-13 : Partie convexe

-15 : Ne sommes pas des sommes

-17 : Calcule exact avec la partie entière

-19 : Plein les sinus

-20 : équations fonctionnelles


-21 : le résultat faux ?

-22,23,24 : Calcul exact avec la partie entière

-25 : Calcul exact avec la partie entière par Almar

-26 : équation diophantienne

-30 : équation diophantienne puissance

-32 : Partie fractionnaire

-33 : Calcul approché

-34 : Catalan +1


-36 : polysition

-37 : Merci à Siméon


-38 : Inégalité de Jensen +

-41 : des racines +difficiles à compter

-43 : polynômes et 3,1,0

-44 : la fonction factorinus

-47 : double casse-tête

-48 : un inverse dérivé

-49 : un inverse dérivé+


-51 : trisection rapide

-52,53 : une histoire de poids

-55 : points variés

-56 : pause en série

-57 : points variés +

-58 : puissance et plus grand diviseur

-59,60 : résultat improblable ?

-61 : théorème de Stone-Weierstrass algébrique fini

-62-63 : doublement classique

-64 : une histoire de mod borné

-66 : équa diff non linéaire

-69 : la convexité pour tous

-70 : cadeau algébrique


-71 : convexe intégral

-72 : l'encadrement arithmético-géométrique tombé par Oty

-73 : activité de groupes tombé par Darkol

-74 : activité de groupes+
tombé par Darkol

-75 : activité de groupe++ tombé par Darkol

-76 : suite inmétrisable tombé par Darkol
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Message par Dattier » dim. nov. 12, 2017 11:02 am

Modifié en dernier par Dattier le lun. déc. 04, 2017 2:46 pm, modifié 7 fois.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. nov. 12, 2017 11:11 am

Ce sont de vieux énoncés encore peu connu :

énoncé 69 : la convexité pour tous
\( \text{Soit }f\in C^2([0,1],\mathbb R_+). \\ \text{ A-t-on } \exists M>0,\forall x,y,\alpha\in[0,1], f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq M(\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y))). \)



énoncé 70 : un cadeau algébrique
\( f \in F(\mathbb R^n,\mathbb R) \) on note \( A=\sum \limits_{\sigma \in S_n} s(\sigma)\times f(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)}) \).
Si \( x_i=x_j \) avec \( i\neq j \), a-t-on \( A=0 \) ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par V@J » dim. nov. 12, 2017 11:52 am

Bonjour,

Je n'étais pas venu traîner dans le coin depuis des lustres, il est amusant et agréable de tomber sur un fil de discussion tel que celui-ci. Du coup, j'en ai profité pour regarder quelques uns des exercices non résolus qui dattent d'il y a longtemps.

Énoncé 2 : polynômes à la mod
SPOILER:
Dattier a écrit :
sam. juil. 08, 2017 7:21 pm
Calculer \( \lim \limits_{n\rightarrow \infty} P_n(X) \mod (X^2+1)^2 \) avec \( P_n(X)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{X^k}{k!} \).
La limite recherchée est : $$ \dfrac{\cos(1) + \sin(1) - \cos(1) X + 3 \sin(1) X + \sin(1) X^2 - \cos(1) X^3 \sin(1) X^3}{2}. $$

Preuve :

On considère la base \( (1,X,X^2,X^3) \) de l'espace vectoriel \( E = \mathbb{R}[X] / (X^2+1)^2 \). Dans \( E \) muni de cette base, la multiplication par \( X \) est une application linéaire que représente la matrice \( M = \begin{pmatrix}0 & 0& 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \). La limite recherchée est donc \( \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.\exp(M) . \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), ce que l'oncalcule en trigonalisant \( M \) comme suit (les calculs sont conceptuellement simples mais fastidieux).

Puisque \( M \) a pour polynôme caractéristique \( \chi_M(X) = (X^2+1)^2 \), ses valeurs propres sont \( \pm i \).
Un simple calcul de vecteurs propres montre que \( P = \begin{pmatrix} -i & -1 & i & -1 \\ 1 & -2 i & 1 & 2i \\ -i & 1 & i & 1 \\ 1 &0 & 1 & 0\end{pmatrix} \) est une base de trigonalisation de \( M \), avec \( P^{-1} M P = \begin{pmatrix} -i, 1, 0, 0 \\ 0, -i, 0, 0, \\ 0, 0, i, 1 \\ 0, 0, 0, i\end{pmatrix} \).
En posant \( \Delta = P^{-1} . M P. \), on trouve \( \exp(\Delta) = \begin{pmatrix} \exp(-i) & \exp(-i) & 0 & 0 \\ 0 & \exp(-i) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \exp(i) & \exp(i) \\ 0 & 0 & 0 & \exp(i)\end{pmatrix} \), d'où l'on déduit que \( \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.\exp(M) . \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.P . \exp(\Delta) . P^{-1} . \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \dfrac{\cos(1) + \sin(1) - \cos(1) X + 3 \sin(1) X + \sin(1) X^2 - \cos(1) X^3 \sin(1) X^3}{2}. \)

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Re: Les dattes à Dattier

Message par V@J » dim. nov. 12, 2017 11:55 am

Énoncé 9 : polynôme et permutation
SPOILER:
Dattier a écrit :
dim. juil. 09, 2017 12:36 pm
Soient \( p \) un entier premier impair, \( P\in(\mathbb Z/p\mathbb Z)[x] \) tel que \( \text{deg}(P)<p \) et \( P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1} \)
A-t-on si \( a_{p-1}\neq 0 \) alors la fonction polynôme associé à \( P \) n'est pas une permutation de \( \mathbb Z/p\mathbb Z \) ?
La réponse est oui !
En effet, puisque nul polynôme de degré \( d \leqslant p-1 \) n'a \( p \) racines, chaque fonction \( f : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) est représentée par un unique polynôme de degré \( d \leqslant p-1 \). En utilisant le petit théorème de Fermat, il s'avère que ce polynôme est \( P_f(X) = \sum_{k=0}^{p-1} (1-(X-k)^{p-1}) f(k) \). Par conséquent, si \( f \) est une permutation de \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \), le coefficient de degré \( p-1 \) de \( P_f(X) \) est \( -\sum_{k=0}^{p-1} f(k) = -\sum_{k=0}^{p-1} k = -p(p-1)/2 = 0 \) (mod \( p \)), car \( (p-1)/2 \) est un entier.

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Message par Dattier » dim. nov. 12, 2017 12:10 pm

@VAJ : Bravo.
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Message par V@J » dim. nov. 12, 2017 12:36 pm

Et enfin :

Énoncé 11 : critère de permutabilité
SPOILER:
Dattier a écrit :
dim. juil. 09, 2017 1:11 pm

\( \text{ Soit f une fonction de }\mathbb Z_p \text{ dans lui même, avec p premier impair.}
\\\text{A-t-on f permutation ssi card}(f^{−1}({0}))\in [1,p-1], \text{ et } \forall k\in [1,p−2]\cap \mathbb N,\sum \limits_{a\in Z_p} (f(a))^k \mod p =0 \text{ ? } \)
La réponse est oui !

Preuve :
Tout d'abord, si \( f \) est une permutation, alors \( \text{card}(f^{-1}(0)) = 1 \). De plus, il existe un \( b \in \mathbb{Z}_p \) dont l'ordre multiplicatif est \( p-1 \) (c'est un lemme standard). Par conséquent, pour tout \( k \in \{1,2,\ldots,p-2\} \), on a bien \( \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^k = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} a^k = S_k \), avec \( b^k S_k = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} (a b)^k = S_k \), de sorte que \( (b^k-1) S_k = 0 \), avec \( b^k \neq 0 \), donc \( S_k = 0 \).

Réciproquement, supposons que \( \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^k = 0 \) pour tout \( k \in \{1,2,\ldots,p-2\} \), que \( \text{card}(f^{-1}(0)) \geqslant 1 \) et que \( f \) n'est pas une permutation. Alors \( f \) n'est pas surjective, donc il existe \( k \in \mathbb{Z}_p \) sans antécédent par \( f \) (et on a forcément \( k \neq 0 \)). Soit alors \( \sigma \) la permutation de \( \mathbb{Z}_p \) qui échange \( 0 \) et \( k \), et telle que tout autre élément de \( \mathbb{Z}_p \) est point fixe de \( \sigma \). Grâce à l'exercice 9, il existe un polynôme \( P_\sigma(X) \) de degré \( d \leqslant p-2 \) et tel que \( P_\sigma(a) = \sigma(a) \) pour tout \( a \in \mathbb{Z}_p \).

Notons ici que \( \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^0 = p = 0 \pmod{p} \). Puisque \( P_\sigma(X) \) est de degré \( d \leqslant p-2 \), on sait donc que \( \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a) = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} P(f(a)) = 0 \pmod{p} \). Donc \( 0 = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} P(f(a)) - f(a) = k (\text{card}(f^{-1}(0)) - \text{card}(f^{-1}(k))) = k ~ \text{card}(f^{-1}(0)) \pmod{p} \), donc \( \text{card}(f^{-1}(0)) = p \), ce qui conclut la preuve.

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Message par Dattier » dim. nov. 12, 2017 12:45 pm

@VAJ : Excellent, celui-là, cela fait longtemps que je le propose sans que personne ne le tombe.
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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Message par Dattier » mar. nov. 14, 2017 2:26 pm

Salut,

J'en tente un :

énoncé 71 : Convexe intégrale
\( \text{f fonction réel tel que f-exp est convexe : }
\\\text{A-t-on } E_f=\{g \in C([0,1])| \int_0^1f(g(x)) \text{d}x=f(\int_0^1g(x) \text{d}x) \} \text{ est l'ensemble des fonctions constantes ?}
\)

Normalement il faut plus d'une astuce pour le tomber, sauf contournement (que je ne connais pas).


Bonus :
\( f \) est 1-lipschitiz de \( \mathbb R^n \) euclidien dans lui même, alors l'ensemble des point fixes de \( f \) formeraient un convexe.

Cordialement.
Modifié en dernier par Dattier le jeu. nov. 16, 2017 10:00 am, modifié 1 fois.
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Message par siro » mar. nov. 14, 2017 2:52 pm

Dattier a écrit :
mar. nov. 14, 2017 2:26 pm
Bonus :
\( f \) est 1-lipschitiz de \( \mathbb R^n \) euclidien dans lui même, alors l'ensemble des point fixes de \( f \) formeraient un convexe.
J'espère que je suis pas trop rouillé.


Soit \( x \) et \( y \) deux points fixes de f. Alors pour tout\( z = \epsilon x + (1- \epsilon) y \) (où \( \epsilon \in [0,1] \)), on a \( |f(x) - f(z)| = |x - f(z)| \leq |x - z| \) ; idem pour y à la place de \( x \). Donc \( f(z) = z \) (il ne peut qu'être sur l'intersection entre les deux sphères de centre \( x \) et \( y \) et de rayon \( \epsilon \) et \( 1-\epsilon \) qui ne se coupent qu'en un point : \( z \)), donc \( z \) est un point fixe, donc \( fix(f) \) est un convexe.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Message par Dattier » mar. nov. 14, 2017 3:02 pm

@Siro : Bravo.

C'est un résultat qui est pour moi très surprenant, je pense qu'avec plus de travail on peut avoir des résultats dans le cas non euclidiens.
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Message par siro » mar. nov. 14, 2017 3:12 pm

C'est assez courant d'utiliser des résultats de convexité pour des ensembles de mesures (invariantes notamment) en systèmes dynamiques (et a priori l'espace des mesures est pas vraiment un espace euclidien). (Du coup j'ai l'habitude de ce genre de questions :mrgreen: )

Après c'pas exactement des fonctions 1-lip qu'on étudie.

Un exemple ici : http://mathfond.math.upmc.fr/2017-18/fi ... 18)(s).pdf (théorème 3.6.1)
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Message par siro » mar. nov. 14, 2017 3:15 pm

Et heu vous appelez quoi "f-exp" ? f composé avec exp ?
Dattier a écrit :
mar. nov. 14, 2017 3:02 pm
@Siro : Bravo.

C'est un résultat qui est pour moi très surprenant, je pense qu'avec plus de travail on peut avoir des résultats dans le cas non euclidiens.
J'imagine que l'espace doit rester "pas trop bizarre" (je verrais mal dans un espace non séparé un tel théorème, après je suis pas spécialiste :mrgreen: ).

Par exemple sur une sphère S^n, êtes-vous sûr de ce théorème ? (Ne pourrait-on pas avoir des soucis sur l'intersection des sphères de centre x et de rayon |z-x| et y de rayon |z-y| notamment quand x et y sont aux pôles ? :mrgreen: )
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Message par Dattier » mar. nov. 14, 2017 3:58 pm

Je parlais d'une norme non euclidienne.

(f-exp)(x)=f(x)-exp(x)
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Message par Dattier » mar. nov. 14, 2017 10:39 pm

énoncé 72 : l'encadrement arithmético-géométrique
Soit \( x_1,...,x_n \) des réels plus grands ou égaux à 1.
A-t-on \( |(x_1\times...\times x_n)^{1/n}-\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)|\leq \max (x_i,i=1...n)\times \big(\max(x_i,i=1...n)^2-\min(x_i,i=1...n)^2\big) \) ?
Modifié en dernier par Dattier le jeu. nov. 16, 2017 10:00 am, modifié 1 fois.
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