Théorie des ensembles
Théorie des ensembles
Bonjour !
Alors voilà je bloque depuis un petit moment sur une partie de mon DM et malgré de nombreuses indications de mon professeur je n’y arrive pas vraiment :/
Alors voilà je viens chercher un peu d’aide de votre côté.
Partie III:
Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre notée $ \preceq $
Soit f une application de E dans E vérifiant :
$ \forall $ x$ \in $E;x$ \preceq $f(x)
f est croissante
$ \forall x \in E, f(x)=f(f(x)) $
On pose : $ F=(x \in E/x=f(x)) $
Et $ \forall x \in E $ on pose Fx= {$ y \in F/ x \preceq y $}
1) Montrer que F n'est pas vide et que, pour tout x de E, Fx n'est pas vide et admet un plus petit élément.
Soit x dans E.
Si il existe y tel que x=f(y) alors x=f(x) car f(y)=f(f(y)).
F est donc égal à f(E), qui n'est pas vide par définition d'une application.
Fx n'est pas vide car il contient f(x), qui est dans F comme on vient de le voir et qui vérifie xf(x) par hypothèse.
De plus f(x) est le plus petit élément de Fx car f est croissante.
2) Soient f une application de E dans E et G une partie de E telle que pour tout élément x\inE l'ensemble Gx={$ y \in G/x \preceq y $}
est non vide et admet f(x) comme plus petit élément. Montrer que f vérifie les propriétés (a), (b) et (c) définies au III.1. et que :
G={x$ \in E $/x=f(x)}
Pour la question 2
(a)(b)(c) fais
3. On suppose que f vérifie les hypothèses de III.1. On suppose que toute partie non vide de E admet une borne inférieure (i.e. que l'ensemble des minorants admet un plus grand élément). Soit A une partie non vide de F. On souhaite montrer que inf(A) $ \in $F.
a. Soit x = inf(A) $ \in $ E, montrer que f(x) minore A à l'aide de l'ensemble Fx.
b. Conclure.
Jai d’un mal pour la 3a et je ne sais pas si la question 1 Est juste vue que je ne sais pas si elle est surjective, merci pour votre aide
Alors voilà je bloque depuis un petit moment sur une partie de mon DM et malgré de nombreuses indications de mon professeur je n’y arrive pas vraiment :/
Alors voilà je viens chercher un peu d’aide de votre côté.
Partie III:
Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre notée $ \preceq $
Soit f une application de E dans E vérifiant :
$ \forall $ x$ \in $E;x$ \preceq $f(x)
f est croissante
$ \forall x \in E, f(x)=f(f(x)) $
On pose : $ F=(x \in E/x=f(x)) $
Et $ \forall x \in E $ on pose Fx= {$ y \in F/ x \preceq y $}
1) Montrer que F n'est pas vide et que, pour tout x de E, Fx n'est pas vide et admet un plus petit élément.
Soit x dans E.
Si il existe y tel que x=f(y) alors x=f(x) car f(y)=f(f(y)).
F est donc égal à f(E), qui n'est pas vide par définition d'une application.
Fx n'est pas vide car il contient f(x), qui est dans F comme on vient de le voir et qui vérifie xf(x) par hypothèse.
De plus f(x) est le plus petit élément de Fx car f est croissante.
2) Soient f une application de E dans E et G une partie de E telle que pour tout élément x\inE l'ensemble Gx={$ y \in G/x \preceq y $}
est non vide et admet f(x) comme plus petit élément. Montrer que f vérifie les propriétés (a), (b) et (c) définies au III.1. et que :
G={x$ \in E $/x=f(x)}
Pour la question 2
(a)(b)(c) fais
3. On suppose que f vérifie les hypothèses de III.1. On suppose que toute partie non vide de E admet une borne inférieure (i.e. que l'ensemble des minorants admet un plus grand élément). Soit A une partie non vide de F. On souhaite montrer que inf(A) $ \in $F.
a. Soit x = inf(A) $ \in $ E, montrer que f(x) minore A à l'aide de l'ensemble Fx.
b. Conclure.
Jai d’un mal pour la 3a et je ne sais pas si la question 1 Est juste vue que je ne sais pas si elle est surjective, merci pour votre aide
SPOILER:
Re: Théorie des ensembles
J'ai aussi l'impression que mes réponses sortent un peu de nul part, que ça n'est pas très bien justifier (ou même faux )
SPOILER:
Re: Théorie des ensembles
T'avais qu'à faire pcsi. Cdt.
"On va spontanément d'une situation ordonnée vers une situation désordonnée, c'est la flèche du temps."
Re: Théorie des ensembles
Imagine la honte si c'était un PTSI qui venait résoudre ton exo alors.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Théorie des ensembles
Tu sais les nuances et les garagistes...
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.