Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par siro » 05 déc. 2017 18:41

Nicolas G a écrit :
05 déc. 2017 18:32
Cela dépend aussi du système d'axiomes et de la théorie dans laquelle on se place. On ne sait pas si on peut démontrer le dernier théorème de Fermat bien plus simplement mais on ne sait pas non plus si on peut le démontrer en utilisant uniquement les objets de l'arithmétique. Peut-être qu'un problème n'est pas simplement résoluble parce que la théorie pour cela n'a pas encore été développée
My point : si astuce il y a pour résoudre un problème complexe, elle se situe à un tel niveau d'abstraction que rien n'assure que l'esprit humain puisse l'appréhender.
C'est un peu comme les preuves à la Grothendieck : il conceptualisait tellement qu'à la fin en enchaînant les tautologies on arrive à des résultats absolument non triviaux. Mais pour ça faut monter violemment en abstraction.

Mais à ce stade-là, j'appelle plus ça "une astuce" mais une théorie entière.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 09:34

Pour $ $$77$, l'exo est buggé ... Pour $ $$\vert z \vert <1,$ on a $\sum_{k=0}^{+\infty}z^{k}=\frac{1}{1-z}.$ Je pense que tu prends des séries aléatoires, et tu veux savoir si presque surement elles s'annulent dans leur disque de cv? C'est ça?
Pour l'exo $ $$71$, tu peux l'enlever, Siméon a donné la réponse.... Inégalité de Jensen + Utilisation du cas d'égalité car la fonction de l'énoncé est strictement convexe.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 10:08

Exo 48,49

SPOILER:

Posons $ $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $ $$x\mapsto x^{5}+x^{3}+x.$ La fonction $ $$f$ est $ $$\mathcal{C}^{\infty},$ impaire et vérifie $ $$f'(0)=1.$ Ainsi, $ $$f$ est donc un $ $$\mathcal{C}^{\infty}$ difféomorphisme au voisinage de $ $$0.$ Notons $ $$g$ cette inverse. Ainsi, son inverse $g$ admet un DL à tout ordre dans un voisinage de $ $$0$ par Taylor-Young. Par imparité de $ $$f$, on a également pour $ $$x \ll1,$ $ $$g(x)=ax+bx^{3}+cx^{5}+dx^{7}+ex^{9}+o(x^{9}).$ On utilise par composition des DL pour $ $ $x\ll1,$ $ $$$g(f(x))=x \mbox{ d'où } a(x+x^{3}+x^{5})+b(x+x^{3}+x^{5})^{3}+c(x+x^{3}+x^{5})^{5}+d(x+x^{3}+x^{5})^{7}+e(x+x^{3}+x^{5})^{9}+o(x^{9})=x.$$
Par unicité du DL de $ $$g$ en $ $$0,$ il vient en tronquant les DL le système triangulaire suivant $ $$$a=1;\mbox{ } a+b=0;\mbox{ }a+3b+c=0;\mbox{ } 6b+5c+d=0;\mbox{ } 6b+15c+7d+e=0.$$
Ainsi, on a $ $$$g(x)=x-x^{3}+2x ^{5}-4x^{7}+4x^{9}+o(x^{9}).$$

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 12:22

Exo 47
SPOILER:

L'idée est produire un développement asymptotique du TG de la double série... L'ordre de sommation est imposé, on somme d'abord en $ $$j$ puis en $ $$i.$ Les calculs sont faits "formellement" car toutes les séries en jeu sont (semi-)convergentes. Posons pour $ $$x\geq 0,$ $S(x)=\sum_{k\leq x} (-1)^{k}.$ On a alors en procédant à une IPP que pour tout $ $$i\geq 1,$ $ $$$\sum_{j\geq 1} \frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\int_{1}^{+\infty}\frac{dS(x)}{\sqrt{i+x}}=\left[ \frac{S(x)}{\sqrt{i+x}} \right]_{1}^{+\infty}+\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx.$$

On regarde alors la série de TG : $ $$(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}.$ On a alors en procédant à une IPP comme précédemment que pour tout $ $$x\geq 1,$ $ $$$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}=\frac{3S(x)}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(y)}{(y+x)^{\frac{5}{2}}}dy=O(x^{-\frac{3}{2}}).$$ Ainsi, par le théorème de CV dominée puis par Fubini, on a $$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\sum_{j\geq 1}\frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\frac{3}{4}\int_{1}^{+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)S(y)}{(x+y)^{\frac{5}{2}}}dxdy.$$ Cette dernière intégrale est bien absolument convergente par un changement de variables en coordonnées polaires et car S est bornée (on remarque que pour tout $ $$2k \leq x <2k+1,\mbox{ } S(x)=1$ et $2k+1 \leq x <2k+2, \mbox{ } S(x)=0$).
Dernière modification par BobbyJoe le 09 déc. 2017 16:02, modifié 2 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 15:46

1) Si tu préfères... Pour $ $$\vert z \vert <2,$ $ $$$ \sum_{k\geq 0} \frac{z^{k}}{2^{k+1}}=\frac{1}{2-z}.$$
2) Je te dirais, il faut connaitre.... Toi qui aime tant les astuces.... Qui n'en sont pas ^^
47 : ça s'appelle une transformée d'Abel... Cela se transforme en une IPP avec le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes...

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 16:32


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Re: Les dattes à Dattier

Message par Hibiscus » 09 déc. 2017 16:36

Dattier a écrit :
09 déc. 2017 16:09
47 : une transformé d'Abel au dernière de mes nouvelles ce n'est pas cela : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties
Regarde l'article connexe à ton lien. (Edit Que bobby vient de poster ^-^)
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 09 déc. 2017 17:15

Je pense que la vraie question de l'exercice $77$ est "est-il vrai que si le choix des entrées sont des Rademacher i.i.d alors la série entière aléatoire s'annule pour presque toute réalisation?"

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas G » 17 déc. 2017 21:00

J'étais pas très actif mais j'aimais bien suivre ce fil de loin :(
Lycée Masséna PCSI 833 PSI 935 3/2 5/2 (2012-2015)
ENSIMAG (2015-2018) Master en mathématiques appliquées MSIAM (2016-2018)
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Re: Les dattes à Dattier

Message par C.A.P.T.P » 18 déc. 2017 11:01

Nicolas G a écrit :
17 déc. 2017 21:00
J'étais pas très actif mais j'aimais bien suivre ce fil de loin :(
Idem. (Enfin je suis pas du tout actif)
Dattier tu entends quoi par "vendre tes bijoux" ? Tu vas publier un livre d'énigmes ?
ENS Paris-Saclay
Agrégeaient de physiquent.

Verrouillé