Travail d'un processus de frottement

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Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » 11 déc. 2017 10:06

Une petite question sur un exercice (officiellement de niveau taupe) pour lequel j'ai une solution peu jolie.
Cet exercice est tiré du (merveilleux) "200 Puzzling Physics Problems", de Gnadig et al. que certains profs de prépa recommendent.

L'énoncé (mal) traduit est le suivant :
"Un bâton uniforme (m,l) est soutenu à ses bouts par le bout de mes deux index. Alors que je rapproche mes doigts lentement vers le centre du bâton, ce dernier glisse sur l'un d'entre eux. (assez facile à se représenter). En supposant le coefficient de friction statique plus faible que celui cinétique, quel travail fournis-je pendant ce processus ?"

Je précise que j'ai une solution analytique longue, sous forme d'intégrales sur petits intervalles.
Les réactions normales exercées sur la barre par mes doigts ne sont pas égales en général. Donc la force de friction statique est plus petite d'un côté que de l'autre, et c'est là où le glissement se produira. Endroit où alors la force de friction cinétique augmente (puisque ça bouge), et dès que ce terme devient plus grand que la friction statique de l'autre côté, ça glisse de l'autre côté.
Donc : mon doigt gauche bouge $ dx $, mon doigt droit compense $ dx_2 $, et je fais alterner glissement et "collage" à chaque doigt.
En "sommant" chacun de ces processus, et après calcul intégral pénible,
$ W = mg \mu_{cin} \frac{l}{2}\lbrack ln(2/(1+k)), +(k+k^2+k^3..)ln(1/k) $ donc deux possibilités, si k très petit devant 1
$ W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l\cdot ln(2) $ ou $ W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l $.

Vu la "simplicité" du résultat, je reste convaincue qu'il y a une approche plus intelligente, mais mon expérience en mécanique est très limitée...
(Comme c'est un exercice "solvable" à niveau prépa, pas d'approche lagrangienne/hamiltonienne.)
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » 11 déc. 2017 10:12

Tu as oublié le "Qu'en pensez-vous ?" à la fin de ton message. :mrgreen:

(Je regarde ça.)
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ?)
Dernière modification par siro le 11 déc. 2017 10:19, modifié 1 fois.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » 11 déc. 2017 10:15

J'aurais du préciser, pour ne pas perturber siro dans ses habitudes de réponse à D.E.
Cet barre est de longueur 140 000 km, et a pour objectif de prouver l'existence d'une forme de vie extraterrestre.
Qu'en pensez-vous ?

Satisfait ?
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » 11 déc. 2017 10:19

siro a écrit :
11 déc. 2017 10:12
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ? Est-ce que tu considères que le travail lors du glissement/basculement fait partie du travail fourni ? Ou est-ce que tu arrêtes de sommer au moment où ça bascule ?)
Saleté de physicien théorique.
En comptant les distances à partir du centre, x pour le gauche, y pour le droit.
Si on décompose en ces différentes "périodes", tu as $ x_0=y_0=L/2 $. On suppose que c'est gauche en premier, parce que x c'est plus joli.
donc $ x_0 \rightarrow x_1 = kl/2 $ A ce moment là, c'est le droit qui commence à bouger, à index gauche constant. $ y_0 \rightarrow y_1 = k^2 l/2 $.
Donc j'arrête de sommer au moment ou ya égalité entre les deux, enf ait. Au moment ou ça devrait basculer si on ne le bouge pas.

Comme les forces de friction sont de la forme $ F_{fr}=\mu_{cin}mg\frac{x}{x+y} $, le ln viendra de là.
Dernière modification par Hibiscus le 11 déc. 2017 10:23, modifié 2 fois.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » 11 déc. 2017 10:20

Hibiscus a écrit :
11 déc. 2017 10:15
J'aurais du préciser, pour ne pas perturber siro dans ses habitudes de réponse à D.E.
Cet barre est de longueur 140 000 km, et a pour objectif de prouver l'existence d'une forme de vie extraterrestre.
Qu'en pensez-vous ?

Satisfait ?
Très.

PS : "Recommendent" ? 8)
PPS : Pense à dire que c'est une antériorité et donc que c'est non brevetable.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » 11 déc. 2017 10:21

Hibiscus a écrit :
11 déc. 2017 10:19
siro a écrit :
11 déc. 2017 10:12
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ? Est-ce que tu considères que le travail lors du glissement/basculement fait partie du travail fourni ? Ou est-ce que tu arrêtes de sommer au moment où ça bascule ?)
Saleté de physicien théorique.
En comptant les distances à partir du centre, x pour le gauche, y pour le droit.
Si on décompose en ces différentes "périodes", tu as $ x_0=y_0=L/2 $. On suppose que c'est gauche en premier, parce que x c'est plus joli.
donc $ x_0 \rightarrow x_1 = kl/2 $ A ce moment là, c'est le droit qui commence à bouger, à index gauche constant. $ y_0 \rightarrow y_1 = k^2 l/2 $.
Donc j'arrête de sommer au moment ou ya égalité entre les deux, enf ait. Au moment ou ça devrait basculer si on ne le bouge pas
Qui te dit que ça ne bascule pas avant ? :mrgreen:
Tu supposes tes doigts d'épaisseur négligeable ? 8) (je te taquine, là, je cherche une situation plus élégante parce que j'ai pas envie de bosser)
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » 11 déc. 2017 10:22

siro a écrit :
11 déc. 2017 10:20
PS : "Recommendent" ? 8)
Anglicisme impardonnable, milles excuses.

Le problème d'une situation plus élégante, du genre "mes doigts sont identiques", c'est que ya plus de problème :D
Mes doigts sont d'une délicatesse nacrée à toute épreuve, donc.... voui mon capitaine !
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par bullquies » 11 déc. 2017 10:40

Question peut-être bête : qu'est-ce qui m'empêche de supposer que je bouge un doigt totalement jusqu'au milieu, puis c'est l'autre doigt qui rejoint le milieu ? Si la réponse au problème est unique, on devrait pouvoir faire un calcul simple à partir de ce cas extrême (sauf si j'ai pas les idées claires)
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » 11 déc. 2017 10:44

Ton bâton chute avant.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » 11 déc. 2017 10:47

Si l'hypothèse est friction statique < cinétique, ça veut pas dire justement que tu peux pas bouger comme ça ? Je veux bien faire le calcul pour voir si ça redonne la même chose, mais je pense qu'il va y avoir un problème de facteur numérique
(je viens de réaliser qu'en français on disait dynamique au lieu de cinétique...)
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