[Probas] Aide sur annale

[Cruos]

Bonjour,

Je bloque sur cette annale d'entraînement.
Je n'ai réussi jusqu'à là à faire uniquement la question 1 et une partie de la question 2.

Pour E[Tn] j'ai trouvé (n+1)(2p+1), c'est bien cela ? Par contre je n'arrive pas à en déduire la loi de Tn.

Enfin, je bloque totalement sur le calcul de Cov(Tn,Tm)....

Merci d'avance !

[darklol]

$ T_n $ est un produit de variables aléatoires indépendantes. L’espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes est égal au produit des espérances. Je te laisse revoir ta formule pour $ \mathbb{E}(T_n) $.

$ T_n $ est à valeurs dans $ \{-1,1\} $ donc sa loi est entièrement déterminée par $ P(T_n = 1) = 1 - P(T_n = -1) $. Et $ \mathbb{E}(T_n) = 1 \times P(T_n = 1) + (-1) \times P(T_n=-1) $, tu as donc une équation de degré 1 à résoudre.

Enfin pour la covariance, utilise la formule $ \text{Cov}(T_n,T_m) = \mathbb{E}(T_n T_m) - \mathbb{E}(T_n)\mathbb{E}(T_m) $ et le fait que $ X_i^2 = 1 $ pour tout $ i $ (ces variables aléatoires prenant leurs valeurs dans $ \{-1,1\} $, leurs carrés sont constants).

[Cruos]

Pour E[Tn] j'ai bien utilisé le fait que l’espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes est égal au produit des espérances et le fait que E[Xk]=2p -1 donc je comprends pas pourquoi il y aurait une équation à résoudre ? :s

[darklol]

Pas d’équation à résoudre à résoudre pour $ \mathbb{E}(T_n) $, c’est juste un produit.

C’est pour la loi de $ T_n $ qu’il faut résoudre une équation.

[Cruos]

J’ai réussi les questions 1 à 3 mais je bloque TOTALEMENT sur la 4. Pouvez-vous m’aider svp ?

[Siméon]

Quelles sont les valeurs possibles pour le produit $UV$ ? Pour quelle(s) valeur(s) du couple $(U,V) $ sont-elles atteintes ?

Impossible cependant de déterminer le paramètre sans hypothèse supplémentaire sur la loi du couple. Compte tenu des autres questions, l'auteur a sans doute oublié l'indépendance de $U$ et $V$.

[Cruos]

Pour la 4_a) j'ai dit que UV = 0 avec proba 2 - u - v et UV = 1 avec proba u + v.

[Siméon]

Ce n'est pas possible : que vaudrait $P(UV = 0) + P(UV = 1)$ ?

[Cruos]

Oui normalement cela devrait valoir 1...

EDIT: UV = 0 avec proba 1 - uv et UV = 1 avec proba uv

[Cruos]

pour la 4b) c'est bon aussi mais je bloque un peu pour c) et d)