Cartan Dieudonné.
Cartan Dieudonné.
Salut à tous.
Ici : http://florian.bouguet.free.fr/doc/deve ... udonne.pdf
Je cherche à comprendre pourquoi $ s(f(x_{0}))=x_{0} $
Pouvez vous me débloquer s'il vous plaît.
Ici : http://florian.bouguet.free.fr/doc/deve ... udonne.pdf
Je cherche à comprendre pourquoi $ s(f(x_{0}))=x_{0} $
Pouvez vous me débloquer s'il vous plaît.
Re: Cartan Dieudonné.
Salut Bidoof,
Je te conseille de faire un dessin : il s'agit essentiellement de trouver l'axe de symétrie d'un triangle isocèle.
Les vecteurs $ x=x_0 $ et$ y = f(x_0) $ sont de même norme, donc $ x + y $ et $ x - y $ sont orthogonaux.
Donc $ s(x-y) = y-x $ et $ s(x+y)=x+y $ par définition de la réflexion.
Donc $ s(x) = y $ et $ s(y)=x $ par linéarité de $ s $.
Je te conseille de faire un dessin : il s'agit essentiellement de trouver l'axe de symétrie d'un triangle isocèle.
Les vecteurs $ x=x_0 $ et$ y = f(x_0) $ sont de même norme, donc $ x + y $ et $ x - y $ sont orthogonaux.
Donc $ s(x-y) = y-x $ et $ s(x+y)=x+y $ par définition de la réflexion.
Donc $ s(x) = y $ et $ s(y)=x $ par linéarité de $ s $.
Re: Cartan Dieudonné.
Merci pour le coup de main.
J'ai essayé de simplifier tout de même l'énoncé. Si on suppose qu'il existe un $x$ tel que $u(x)=x$ et j'aimerais montrer que $u$ s'écrit comme le produit d'au plus $n$ réflexions.
Pour l'hérédité d'une récurrence dans laquelle j'utilise que $T = vect(x)$ est stable par $u$ donc son orthogonal aussi (auto-adjoint).
J'aimerais faire cette étape à coup de matrice par bloc. On a $E = T \oplus T^\bot$ muni de la base $\{x\} \cup B'$.
J'ai $U = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & U'
\end{pmatrix}$ avec $U' = \prod_{i=1}^{p} R'_{i}, p < n$.
Enfin la réflexion sur T donc la matrice est $\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & I_{n-1}
\end{pmatrix} $
Maintenant j'essaye de conclure, je peux transformer les $R'_{i} \in M_{n-1}(\mathbb K)$ en réflexion de $E$ en posant $R_{i} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & R'_{i}
\end{pmatrix}$
J'ai essayé de simplifier tout de même l'énoncé. Si on suppose qu'il existe un $x$ tel que $u(x)=x$ et j'aimerais montrer que $u$ s'écrit comme le produit d'au plus $n$ réflexions.
Pour l'hérédité d'une récurrence dans laquelle j'utilise que $T = vect(x)$ est stable par $u$ donc son orthogonal aussi (auto-adjoint).
J'aimerais faire cette étape à coup de matrice par bloc. On a $E = T \oplus T^\bot$ muni de la base $\{x\} \cup B'$.
J'ai $U = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & U'
\end{pmatrix}$ avec $U' = \prod_{i=1}^{p} R'_{i}, p < n$.
Enfin la réflexion sur T donc la matrice est $\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & I_{n-1}
\end{pmatrix} $
Maintenant j'essaye de conclure, je peux transformer les $R'_{i} \in M_{n-1}(\mathbb K)$ en réflexion de $E$ en posant $R_{i} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & R'_{i}
\end{pmatrix}$
Re: Cartan Dieudonné.
Est-ce une question ? Si oui, peux-tu préciser à quel endroit tu es bloqué ?
Re: Cartan Dieudonné.
J'aimerais conclure ma récurrence.
Re: Cartan Dieudonné.
Je ne comprends pas ton problème : ne remarques-tu pas que $U = R_1\times R_2\times \cdots \times R_p$ ?
Re: Cartan Dieudonné.
Oui mais j'aimerais un $p+1$.
Pourquoi ? Pour avoir la possibilité que $p=n$.
Pourquoi ? Pour avoir la possibilité que $p=n$.
Re: Cartan Dieudonné.
Ceci contredirait la condition $p < n$ que tu as écrite plus haut !? Franchement, on ne comprend rien à ce que tu cherches à faire. Si tu veux de l'aide, il va falloir prendre le temps de clarifier ta question et de la rédiger de façon précise.
Re: Cartan Dieudonné.
D'accord.