Densité de probabilité / loi gamma
Re: Densité de probabilité / loi gamma
Non mais mec t’es sérieux, je t’ai quasiment donné la réponse. Appelle $ I_n $ ton intégrale. Tu fais une bête IPP et tu trouves une relation de récurrence entre $ I_n $ et $ I_{n-1} $, tu résous trivialement cette relation de récurrence et tu tombes directement sur ce que demande l’énoncé. T’iras nulle part dans la vie si tu continues comme ça.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
Ingénieur de recherche
Re: Densité de probabilité / loi gamma
Soit $\lambda>0$ et $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}.$ On écrit alors par Taylor avec reste intégral $ $$$e^{\lambda}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{(\lambda-t)^{n-1}e^{t}}{(n-1)! }dt.$$
On tire de cette relation par le changement de variables $ $$u\mapsto \lambda-t,$ $$1=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du.$$
En utilisant le fait que $ $$f_{n}$ est une densité, on a $ $$$\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du=\int_{0}^{\lambda}f_{n}(u)du=1-\int_{\lambda}^{+\infty}f_{n}(u)du.$$ Il vient bien finalement que $$\mathbb{P}(X>\lambda)=\mathbb{P}(Y<n).$$
On tire de cette relation par le changement de variables $ $$u\mapsto \lambda-t,$ $$1=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du.$$
En utilisant le fait que $ $$f_{n}$ est une densité, on a $ $$$\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du=\int_{0}^{\lambda}f_{n}(u)du=1-\int_{\lambda}^{+\infty}f_{n}(u)du.$$ Il vient bien finalement que $$\mathbb{P}(X>\lambda)=\mathbb{P}(Y<n).$$