Point d’annulation

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 18 nov. 2017 00:32

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Point d’annulation

Message par Danator » 13 févr. 2018 20:14

Bonsoir,

(Je suis en MPSI), voici un exercice assez Laborieux :

Soit f, continue de [0,1] dans R, telle qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 1 de f(t)tkdt=0
Montrer que f s’annule n fois

Question 1 : Soif f continue et 2-pi périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
$ \exists $n$ \in $ N*;$ \forall $ k<n,$ \int_{0}^{1}{f(t)t^kdt} $=0
Montrer que f s’annule n fois

Ma solution :
SPOILER:
je supposes que f ne s’annule qu’en moins de n points, Je supprimés ceux en lesquels elle s’annule sans changer de signe, il reste P point $ a_{1},…,a_{p} $ avec p <=n on considère alors le polynôme :
$ P=\prod{k}=1ˆ{p}(X-a_{k}) $ qui est de degré p
Ce polynôme est combinaisons des $ Xˆ{k} $ pour : 0<=k<=p<=n, on en déduis que $ \int_{0}^{1}{f(t)P(t)dt} $
D’autre part si on compares les tableaux de signe de P et d on s’apercois Que f(t)P(t) est de signe constant que [0,1], d’ou On se retrouve avec une fonction continue, de signe constant d’integrale Nulle
Question 2 : soit f continue et 2$ \pi $-périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
$ \exists $n$ \in $N*,$ \forall $k<n $ \int_{0}^{2\pi}{f(t)cos(kt)dt} $=$ \int_{0}^{2\pi}{f(t)sin(kt)dt} $, elle s’annule au moins 2n fois sur [0,2$ \pi $[

Je n’ai pas trouver, j’ai tout de même essayer avec l’exponentiel complexe etc, Si quelqu’un aurait le temps de rédiger une réponse exhaustive j’en serai très reconnaissant merci
Dernière modification par Danator le 14 févr. 2018 22:08, modifié 2 fois.

Messages : 6

Inscription : 30 avr. 2017 01:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par oty20 » 14 févr. 2018 05:26

la question 2) est clairement fausse , f=1 .... est un contre exemple
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 3901

Inscription : 04 sept. 2005 19:27

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par JeanN » 14 févr. 2018 12:32

Ce n’est pas un contre exemple : il n’y a pas égalité des intégrales pour k=0
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 0

Inscription : 18 nov. 2017 00:32

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par Danator » 14 févr. 2018 12:44

Du coup personne ?

Messages : 3901

Inscription : 04 sept. 2005 19:27

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par JeanN » 14 févr. 2018 13:44

Patiente un peu :)
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 0

Inscription : 18 nov. 2017 00:32

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par Danator » 14 févr. 2018 15:46

Bonjour walid,

Merci de ta réponse,
Mais ton exercice est similaire mais est loin d’être le même, si tu remarque bien mes intégrales de la seconde question sont de 0 à 2$ \pi $, ne sont pas,égale à 0, et s’annule 2n fois dans [0,2$ \pi $[ et non dans tout R ce qui est plus restrictif.

Cordialement

Messages : 0

Inscription : 13 févr. 2018 16:41

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par noro » 14 févr. 2018 15:51

Je pense que ça peut être une piste:
$ \int_{0}^{2\pi}{f(t)(cos(kt)-sin(kt))dt}=0=\int_{0}^{2\pi}{f(t)(cos(kt)+cos(pi/2+kt))dt}=\int_{0}^{2\pi}{2f(t)cos(kt+\pi/4)cos(\pi/4)dt} $
Nothing happened.
-------------------------------------------
L3 Maths-Info

Messages : 0

Inscription : 18 nov. 2017 00:32

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par Danator » 14 févr. 2018 16:07

[pas mon idée] Si j’appelles encore $ a_k $, k=1 à p, les p points où f s’annule en changeant de signe avec p<2n, et si je regardes la fonction
t -> $ e^{-nit} \prod_{k=1}^{p} (e^{it} - a_k $) multipliée par sa conjuguée, sera-t-elle une bonne piste ?

Messages : 6

Inscription : 30 avr. 2017 01:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par oty20 » 14 févr. 2018 16:49

JeanN a écrit :
14 févr. 2018 12:32
Ce n’est pas un contre exemple : il n’y a pas égalité des intégrales pour k=0

Merci beaucoup , j'ai pas fait attention , le problème pour moi si on interprète les hypothèses en ajoutant l’hypothèse que f soit C^{1} , les conditions nous donnent une égalité des coefficients de fourrier d 'indice $ n\geq 1 , a_{n}(f)=b_{n}(f) $ et $ a_{0}(f)=0 $ , ce qui m'a semblé insuffisant pour émettre une telle conclusion .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 6

Inscription : 30 avr. 2017 01:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Point d’annulation

Message par oty20 » 14 févr. 2018 21:52

il y a un problème , la questions deux , si j"ai compris correctement le ''ah moin 2n fois"" , (par au moin 2n fois)

pour $ n=1 $ le fait que l’intégrale de f sur $ [0,2\pi] $ soit égale a 0 donne simplement que $ f $ s'annule 1 fois , alors que l'assertion stipule 2 fois minimum , non ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Répondre