(Je suis en MPSI), voici un exercice assez Laborieux :
Soit f, continue de [0,1] dans R, telle qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 1 de f(t)tkdt=0
Montrer que f s’annule n fois
Question 1 : Soif f continue et 2-pi périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
$ \exists $n$ \in $ N*;$ \forall $ k<n,$ \int_{0}^{1}{f(t)t^kdt} $=0
Montrer que f s’annule n fois
Ma solution :
$ \exists $n$ \in $N*,$ \forall $k<n $ \int_{0}^{2\pi}{f(t)cos(kt)dt} $=$ \int_{0}^{2\pi}{f(t)sin(kt)dt} $, elle s’annule au moins 2n fois sur [0,2$ \pi $[
Je n’ai pas trouver, j’ai tout de même essayer avec l’exponentiel complexe etc, Si quelqu’un aurait le temps de rédiger une réponse exhaustive j’en serai très reconnaissant merci